Vektornaya_algebra_i_analiticheskaya_geometria

ЗАДАНИЕ 8. В четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1

известны координаты ее

вершин: A(2;4;9), B(9;0;0), C(1;9;3),

A1(9;6;2); точки Q, Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 центры

соответственно граней ABCD, A1B1C1D1 , BB1C1C, DD1C1C, AA1D1D, AA1B1B.

Разложить по базису i,

j,k заданный вектор, найти его длину и угол, который он

образует с вектором AC1 . Заданный вектор взять в соответствии с вариантом.

8.1.

AQ1 .

8.11.

CQ4 .

8.21.

C1Q4 .

8.2.

AQ2 .

8.12.

CQ5 .

8.22.

B1Q.

8.3.

AQ3 .

8.13.

A1Q.

8.23.

B1Q3 .

8.4.

BQ3 .

8.14.

A1Q2 .

8.24.

B1Q4 .

8.5.

BQ4 .

8.15.

A1Q3 .

8.25.

QQ1 .

8.6.

BQ.

8.16.

D1Q5 .

8.26.

QQ2 .

8.7.

DQ1 .

8.17.

D1Q.

8.27.

QQ5 .

8.8.

DQ2 .

8.18.

D1Q2 .

8.28.

QQ3 .

8.9.

DQ5 .

8.19.

C1Q.

8.29.

QQ4 .

8.10.

CQ1 .

8.20.

C1Q5 .

8.30.

Q5Q3 .

№

a , b

№

a , b

варианта

варианта

9.1

a= 2p q, b=3p+2q

9.16

a= q 2p,

b=3p+2q

9.2

a= p+q, b=2q p

9.17

a=2p q,

b= p+q

9.3

a=3p 2q, b= p+2q

9.18

a= p+q,

b=3p q

9.4

a= q 3p, b=3p q

9.19

a=3p q, b=2q p

9.5

a= p q, b=3p+q

9.20

a=3q p, b= p+2q

9.6

a= 2p+q, b= p+q

9.21

a= p+2q, b= p q

9.7

a= 2p q, b=3p+2q

9.22

a=3p+q, b= q p

9.8

a=2q 3p, b= p q

9.23

a=2p+3q, b= p+2q

9.9

a=3p q, b=2p+2q

9.24

a=2p+q, b= p+3q

9.10

a=q p, b= p+3q

9.25

a= p q, b=3p+2q

9.11

a=2p+3q, b=3p 2q

9.26

a=3p q, b= p+q

9.12

a= p+2q, b=2p+3q

9.27

a=q 3p,

b=3p q

9.13

a= p 2q, b=q 2p

9.28

a=2p+3q, b=2q p

9.14

a=3p+q, b= p+2q

9.29

a= p q, b=3p+2q

9.15

a= p+3q, b=3q+ p

9.30

a= p+q, b=2p 3q

b m n. Найти площадь параллелограмма, если известны длины векторов

m и n

и угол между ними. Выражения векторов

a, b, длины векторов |m|

и |n|

и угол

между ними (m, n) взять из таблицы в соответствии с вариантом.

№

a

b

|m|

|n|

(m, n)

варианта

10.1

3m 5n

2m 3n

1

2

3

10.2

2m n

4m 5n

1

1

4

№

a

b

|m|

|n|

(m, n)

варианта

10.3

m 2n

2m n

2

3

6

10.4

3m 2n

2m n

2

2

3

10.5

2m 3n

4m n

3

5

2

10.6

3m 2n

m n

1

1

2

3

10.7

5m 6n

m 2n

1

1

6

10.8

3m 4n

4m 5n

2

2

4

10.9

3m 4n

4m 2n

1

2

2

10.10

m n

m 5n

2

2

2

10.11

3m n

5m 3n

3

4

4

10.12

m 2n

m 2n

3

3

3

10.13

3m 2n

5m 6n

4

6

3

10.14

3m n

m n

2

1

6

10.15

2m 5n

m n

1

3

3

10.16

3m 7n

2m 2n

1

4

2

10.17

m n

m n

3

2

4

10.18

2m 3n

m n

4

5

2

10.19

m n

5m n

3

7

3

10.20

4m n

4m n

1

1

4

10.21

m n

m n

2

5

6

№

a

b

|m|

|n|

(m, n)

варианта

10.22

6m 2n

n m

5

6

3

10.23

n 3m

5n m

4

3

4

10.24

3n 3m

n m

8

5

3

10.25

3m 7n

m 2n

1

1

4

10.26

m n

3m 2n

2

2

4

10.27

m n

2m n

3

2

3

10.28

m 9n

m n

1

1

3

№

A

B

C

D

варианта

12.1

(1,-1,1)

(-2,0,3)

(2,1,-1)

(2,-2,-4)

12.2

(1,2,0)

(1,-1,2)

(0,1,-1)

(-3,0,1)

12.3

(1,0,2)

(1,2,-1)

(2,-2,1)

(2,1,0)

12.4

(1,2,-3)

(1,0,1)

(-2,-1,6)

(0,-5,-4)

12.5

(3,10,-1)

(-2,3,-5)

(-6,0,-3)

(1,-1,2)

12.6

(-1,2,4)

(-1,-2,-4)

(3,0,-1)

(7,-3,1)

12.7

(0,-3,1)

(-4,1,2)

(2,-1,5)

(3,1,-4)

12.8

(1,3,0)

(4,-1,2)

(3,0,1)

(-4,3,5)

12.9

(-2,-1,-1)

(0,3,2)

(3,1,-4)

(-4,7,3)

12.10

(-3,-5,6)

(2,1,-4)

(0,-3,-1)

(-5,2,-8)

12.11

(2,-4,-3)

(5,-6,0)

(-1,3,-3)

(-10,8,7)

12.12

(1,-1,2)

(2,1,2)

(1,1,4)

(6,-3,8)

12.13

(14,4,5)

(-5,-3,2)

(-2,2,-1)

(-2,-6,-3)

12.14

(1,2,0)

(3,0,-3)

(5,2,6)

(8,4,-9)

12.15

(2,-1,2)

(1,2,-1)

(3,2,1)

(-4,2,5)

12.16

(1,1,2)

(-1,1,3)

(2,-2,4)

(1,0,-2)

12.17

(2,3,1)

(6,3,7)

(4,1,-2)

(7,5,-3)

12.18

(1,1,-1)

(2,3,1)

(3,2,1)

(5,9,-8)

12.19

(1,5,-7)

(-3,6,3)

(-2,7,3)

(-4,8,-12)

12.20

(-3,4,-7)

(1,5,-4)

(-5,-2,0)

(2,5,4)

12.21

(-1,2,-3)

(4,-1,0)

(2,1,-2)

(3,4,5)

12.22

(4,-1,3)

(-2,1,0)

(0,-5,1)

(3,2,-6)

12.23

(7,2,4)

(7,-1,-2)

(3,3,1)

(-4,2,1)

12.24

(2,1,4)

(-1,5,-2)

(-7,-3,2)

(-6,-3,6)

12.25

(-1,-6,3)

(1,-5,9)

(-2,3,5)

(0,-1,-1)

12.26

(-1,-5,2)

(-6,0,-3)

(3,6,-3)

(-10,6,7)

12.27

(5,2,0)

(2,5,0)

(1,2,4)

(-1,1,1)

12.28

(2,-1,-2)

(1,2,1)

(5,0,-6)

(-10,9,7)

12.29

(-2,0,-4)

(-1,7,1)

(4,-8,-4)

(1,-4,6)

12.30

(1,3,6)

(2,2,1)

(-1,0,1)

(-4,6,-3)

f1,

g1

(1)

f2 21 g1.

g2

(g1,g2 ) 0.

(2)

(g1, f2 21 g1) 0.

(3)

21

( f2 ,g1 )

.

(4)

| g1 |2

При найденном 21 векторы g1 и g2 ортогональны и, следовательно,

образуют

e

g1

,

e

g

2

.

(5)

1

| g1

|

2

| g

2

|

если

i j,

1,

(ei ,ej )

причем i, j 1,2.

если

i j,

0,

f1, f2 ,..., fn

(6)

g

f

,

1

1

g

2

f2 21 g1 ,

f

g

g

,

g

3

3

31

1

32

2

(7)

Числа ij ,

i 2,3,...,n;

j 1,2,...,n 1 выбираем так, чтобы система векторов

(gi ,gj ) 0,

если i j.

(8)

( fi ,gj )

,

i 2,3,...,n; j 1,2,...,n 1

(9)

ij

| gj |2

Подставим найденные по формулам (9)

ij в систему (7). В этом случае получаем

ортогональную систему:

g1,g2 ,...,gn .

(10)

e

g1

, e

g2

e

g3

e

gn

2

,

3

, ...,

n

,

.

(11)

1

| g1

|

| g2 |

|

g3

|

| gn

|

Это означает, что система e1,e2 ,...,en удовлетворяет условию

если

i j,

(ei ,ej

1,

)

если

i j.

0,

ЗАДАНИЕ 13. Преобразовать данный базис f1 col(m; m),

f2

col(m;

m

),в

2

№

m

№

m

№

m

варианта

варианта

варианта

13.1

1

13.11

–0,6

13.21

2

7

13.2

–1

13.12

0,6

13.22

2

7

13.3

0,5

13.13

3

13.23

4

7

3

13.4

2

13.14

3

13.24

4

3

7

3

13.5

2

13.15

3

13.25

5

8

3

3

13.6

2

13.16

–1,5

13.26

5

5

3

13.7

2

13.17

1

13.27

0,8

3

5

13.8

–0,25

13.18

1

13.28

–0,8

3

13.9

0,75

13.19

1

13.29

1,5

7

13.10

–0,75

13.20

1

13.30

–0,5

7