Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналит. геометрия. Мазова Р.Е.

.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Решение:

Построение: М1А, М2В и М3С – биссектрисы углов при вершинах М1М2 М3. Составим уравнение сторон М1М2 и М1М3, используя уравнение прямой, прохо-

дящей черездветочки			x − x1			=	y − y1			: x − y +3=0 и x -3 y +3=0 (рис. 2.7).
дящей черездветочки						=				: x − y +3=0 и x -3 y +3=0 (рис. 2.7).
			x	2	− x		y	2	− y
				2	1			2	1
Найдем уравнение биссектрисы М1А:
			М1 A :					у − х+ 3 =			3у − х+3 ,
									2		10
откуда	5 (у – х + 3)=3у – х + 3;							5 у –		5 х + 3 5 =3у – х + 3;
Уравнение будет иметь вид х(							5 -1) + у(3 –				5 )+ (-3 +3 5 )=0.
Найдем уравнение биссектрисы М2В:
	y − x + 3 = 3х+ y −11 .
	2			10
откуда	5 (х – у + 3) = у+3х -11;
5 х-	5 у+3 5 = 3х+у - 11;
Уравнение будет иметь вид
( 5 −3) x −( 5 +1) y +(3					5 +11) =0.
Найдем уравнение биссектрисы
М3С :	х −3y + 3 =	3х+ y −11 .									Рис. 2.7
	10				10						Рис. 2.7

Х – 3у + 3= 3х + у - 11;

Уравнениебудетиметьвид: х+ 2у– 7 = 0.

Найдем точки пересечения сторон треугольника с ответствующей биссектрисой. Используя правило Крамера, находим:

3õ+ y =11,

1)( 5 −1)x + (3− 5)y =3−3 5;

=	3	5 −1	3 −	1	= - 4 5 +10;
		5 −1	3 −	5
х	=	11		3−		1 =3 5 −3 −11 5 +33 =30 −8 5;
		3−3 5		3−		5
у	=	3	3 −3			11 = - 20 5	+20;
		5 −1	3 −3			5

y =

−

20 5 + 20

−10 5

+10

− 4 5 +10

− 2 5

15 − 4 5

−10 5 +10

→

;

30 −8 5

15 − 4 5

− 2 5 +5

х =

− 4 5 +

− 2 5 +5

2) (

5 −3)x −( 5 +1)y =−3 5 −11,

5 −3

− 5 −1

5 −10,

x −3у =−3;

−3

−3 5 −11

−

5 −1

= −6 5 −30,

−3

5 −3 −3 5 −11

= −20 .

−3

y =

− 20

−10

−15 −3 5

−10

2 5 −10

5 −5

→

;

õ = õ =

−30 − 6 5

5 −5

−

−15 −3 5

5 −10

5 −5

х − y = −3,

3)х+2 y =7;

−1

= 2 +1 = 3,

у =

− 4

−2

= 4 + 6 =10,

х =

−3

−1

= −6 + 7 =1,

−1

х = 1/3, у = 10/3. Следовательно, т. С(1/3,10/3).

Найдем периметр треугольника АВС: находим длины сторон АВ, ВС и АС и сложим их.

Р АВС = АВ + ВС + АС =

−15 −3 5

−

15 −4 5

−10

−

10 −10 5

−15 −3 5

−

−10

−

10 2

5 −5

5 −2 5

5 −5 5 − 2

5 −5

15 − 4 5

10 −

10 5

−30

10 15 −2

30 −12

−

= 2

5 − 2 5

5 −

2 5

−21 5

3 15 −5 5

45 −20

Пример 19. Даны три вершины параллелограмма А(4;2), В(5;7), С(-3;4) Найти:

а. Координаты четвертой вершины D; б. Длины диагоналей AD и CB;

в. Точку пересечения диагоналей E; г. Угол при вершине А.

Решение:

а. Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому координаты т. E – пересечения диагоналей найдем как координаты середины отрезка ВC (рис. 2.8). Обозна-

чая их через	хЕ , получим, что хЕ =	5 + (−3)	=1.
		2

уЕ = 7 +2 4 = 5,5

т. E(1; 5,5)

Зная координаты т. Е – середины диагонали AD и координаты одного из его концов А(4; 2); по формулам вычисления координат середины отрезка

x =

х1 + х2

у =

у1 + у2

Рис. 2.8

где х = 1,

х1 =4, у =5,5,

у1 = 2,

получим

1 =

4 + хD

хD = -2 ;

5,5 =

2 + уD

уD = 9. Такимобразом, т. D(-2;9).

б. BC =

(−3 − 5)2

+ (4 − 7)2 =

AD =

(−2 − 4)2 +(9 − 2)2

= 85.

в. Найдем уравнения прямых АD и ВС , которые являются диагоналями

х− х1

у− у1

параллелограмма, по формуле

х −

− у

AD:

х−4

у−2

х − 4

у − 2

−2 −4

9 −2

− 6

7х – 28= -6у + 12,

7х + 6у – 40 = 0.

ВС:

х−5

у−7

х−5

у −7

−3 −5

4 −7

−8

−3

-3х + 15 = -8у + 56,

3х - 8у + 41 = 0.

Найдем точку пересечения прямых АD и ВС: E(1; 5,5) – точка пересече-

ния диагоналей.

х− х1

у− у1

г. Найдем уравнение прямых АВ и АС по формуле

− х

− у

Представим уравнение в виде у = кх + в.

АВ:

х − 4

у − 2

х− 4

у − 2

5 − 4

7 − 2

5х – 20 = у – 2,

у = 5х – 18, к1 =5.

АС:

х− 4

у − 2

х− 4

у − 2

−3 − 4

4 − 2

−7

2х – 8 = –7 у + 14, 7у = –2х + 22,

	k2 − k1			−		2	−5			−	37
						2					37
tgA =			=		7				=			7	=
tgA =			=					2	=			3	=
	1	+ k k						2		−		3
		1 2		1+	5		−
												7
								7

Ответы: а) D(-2;9); б) BC= 73 ; АD=

	y = −	2	х+	22	,	к2	=−	2.
		7		7				7
37	A= arctg				37 .
37	A= arctg				37 .
3					3

85 ; в) Е(1; 5,5); г) САВ=arctg 373 .

Пример20. Найтивнутренние углытреугольника, стороныкоторогозаданы уравнениями х+ 2у= 0,

х + 4у – 6 = 0; х – 4у – 6 = 0.

Дано: AB: х + 2у = 0, BC: х + 4у - 6 = 0;

AC: х - 4у - 6=0 (рис. 2.9).

Найти ВAС, АBС, ВCА.

Решение:

x + 2у= 0, х+ 4у– 6 = 0, х– 4 у– 6 = 0.

Рис. 2.9											Запишем эти уравнения по формуле с
											угловымкоэффициентому= кх+ в.
AB: х + 2у = 0,		2у = -х,							у =−1 х.										к =− 1.
											2							1			2
											2										2
ВС: х + 4у – 6 = 0, 4у = – х + 6,											у = −1					х+11 .						к2		= −1 .
														4				2								4
AC: х – 4у – 6 = 0,					4у = х – 6,								у = 1 х−11 ,									к = −1.
														4				2			3					4
														4				2								4
								1			1					1		1			1
								1			1					1		1			1
							−		−	−
tg( АВС) =		к2 −		к1		=		4			2				=	− 4	+ 2			=	4		=			8	=	2
tg( АВС) =	1	+	к1		к2	=			1			1			=	1+			1	=		9	=		9	4	=	9
	1	+							1			1							1			9			9	4		9
							1+	−			−							8			8
							1+	−			−
									2			4
									2			4

АВС = arctg	2	=12°30	′
	9


		к3 −к2		1		+		1		16			8			8

tg( ВАС) =			=		4			4	=		=			.	ВАС = arctg		= 28°.
					4			4
	1	+ к2 к3		1−				1		15 2		15				15
	1							1		15 2		15				15
							16

BAC=180°-28°-12°30'=139°30'.

Ответ: ABC= 12°30'; BAC=28°; BCA=139°30'.

Пример 21. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x + 2y = 4 и х + 2у = 10 и уравнение одной из его диа-

гоналей у = х + 2 (рис. 2.10).

Решение:

1.Решим две системы из двух линейных уравнений. Первая x+2y=4 и y=x+2 даст одну вершину А ромба: A(0,2).

2.Найдемсерединудиагонали: M(1;3).

3.Используя свойство ромба, найдем его вторую диагональ (она будет перпендикулярна заданной): у = -x + b. Подставим координаты середины отрезка АС – точки М(1;3), найдем b=4, т.е вторая диа-

	гональ y =−x +b, b=x+y=1+3=4, b=4.
	y=-x+4. Вторая сторона х + 2у = 10 и	Рис. 2.10
	диагональ у = х + 2 даст другую вершину	Рис. 2.10
	диагональ у = х + 2 даст другую вершину

Сромба: C(2,4).

4.Найдем точки пересечения этой диагонали со сторонами – это будут две другие вершины. Решим две системы из двух линейных уравнений:

первая x+2y=4 и y=-x+4 даст одну вершину ромба B(4,0); вторая х+2у=10 и у=-х+4 даст другую вершину ромба D(-2,6):

Ответ: А(0;2), В(4;0), С(2;4), D(-2;6).

2.3.Задачи для самостоятельного решения

1.Построить прямые, отсекающие на оси Oy отрезок b = 3 и составляющие

сосью Ox угол: 1) 45o ; 2) 135o . Написать уравнения этих прямых.

2.Построить прямые, отсекающие на оси Oy отрезок b = −3 и составляющие с осью Ox угол: 1) 60o ; 2) 120o. Написать уравнения этих прямых.

3.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью Ox угол: 1) 45o ; 2) 60o ; 3) 90o; 4) 120o; 5) 135o .

4.Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку (− 2,3), написать ее уравнение.

5.Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1) 2x −3y =6 ; 2) 2x +3y =0 ; 3) y = −3 ; 4) x / 4 + y /3 =1.

6.Построить прямые:

1)3x + 4y =12; 2) 3x − 4y =0 ; 3) 2x − 5 = 0 ; 4) 2y +5 =0 .

7.Определить параметры k и b прямой, проходящей через точку A(2; 3) и

составляющей с Ox угол 45o . Написать уравнение этой прямой.

8. Привести к виду в отрезках на осях уравнения прямых: 1) 2x −3y =6 ;

2) 3x − 2y + 4 =0.

9.Даны точки O(0;0) и A(−3;0). На отрезке OA построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке B(0;2). Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

10.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

11. Прямые y = −2 и y = 4 пересекают прямую 3x − 4y −5 =0 соответствен-

но в точках A и B. Построить вектор AB , определить его длину и проекции на оси координат.

12.Лежат ли точки A(3; 5), B(2; 7), C(-1; -3) и D(-2; -6) на прямой y = 2x −1

или же они выше или ниже этой прямой ?

13.Каков геометрический смысл неравенств:

1)y >3x +1; 2) y <3x +1; 3) 2x + y − 4 ≥0 ; 4) 2x + y − 4 <0 ?

14.Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:

1)	y < 2 − x ,	x > −2 , y > −2 ;
2)	y > 2 − x ,	x < 4, y < 0 ;
3)	x / 4 + y / 2 ≤1, y ≥ x + 2 , x ≥ −4 .

Указание. Слово «область» здесь означает часть плоскости xOy, коор-

динаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым условиям (например, неравенствам). Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на границе области. В противном случае область называется открытой.

15.Прямые x = −1 и x =3 пересекают прямую y = 2x +1 в точках A и B. Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.

16.Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3;-3), M5(3;-1),

M6(-2; 1) лежат напрямой 2x −3y −3 =0 икакиенележатнаней.

17.Определить точки пересечения прямой 2x −3y −12 =0 с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

18.Найти точку пересечения двух прямых 3x − 4y − 29 =0, 2x +5y +19 =0.

19.Стороны AB, BC и AC треугольника ABC даны соответственно уравнениями 4x +3y −5 =0 , x −3y +10 =0 , x − 2 = 0 . Определить коорди-

наты его вершин.

Указание. Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.

20. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8x +3y +1 =0 , 2x + y −1 =0 и уравнение одной из его диагоналей 3x + 2y +3 =0 . Определить координаты вершин этого параллелограмма.

21.Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy , для каждой из прямых: 1) 5x − y +3 =0;

2)2x +3y −6 =0;

3)5x +3y + 2 =0 ;

4)3x + 2y =0 ;

5)y −3 =0 .

22.Дана прямая 5x +3y −3 =0 . Определить угловой коэффициент k пря-

мой: а) параллельной данной прямой; б)перпендикулярной к данной прямой.

23.Дана прямая 2x +3y + 4 =0 . Составить уравнение прямой, проходящей

	через точку M0(2; 1):	а) параллельно данной прямой; б) перпендикуляр-
24.	но к данной прямой.		2x −3y +5 =0 ,
	Даны уравнения	двух сторон прямоугольника
	3x + 2y −7 =0 и одна из его вершин A(2; -3). Составить уравнения двух
	других сторон этого прямоугольника.
25.	Даны уравнения двух сторон прямоугольника x − 2y =0,		x − 2y +15 =0

и уравнение одной из его диагоналей 7x + y −15 =0. Найти вершины прямоугольника.

26.Найти проекцию точки P(-6; 4) на прямую 4x −5y +3 =0 .

27.Найти точку Q , симметричную точке P(-5; 13) относительно прямой

2x −3y −3 =0.

28.В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей между ними:

1) 3x − 2y −1 =0 ,		3x − 2y −13 = 0 ;
2)	5x + y +3 =0 ,	5x + y −17 = 0 ;
3)	2x +3y −6 =0,	4x + 6y +17 =0 ;
4)	5x + 7 y +15 =0 , 5x + 7 y + 3 = 0 ;
5)	3x −15y −1 =0 , x −5y − 2 = 0.

29. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

30. Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнения его сторон.

31.Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1), M3(3; 2). Составить уравнения его высот.

32. Стороны треугольника заданы уравнениями 4x − y −7 =0 , x +3y −31=0 , x +5y −7 =0. Определить точку пересечения его высот.

33.Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1) и C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B.

34.Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами

A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).

35. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5x + 2y −7 =0 , 5x + 2y −36 =0 и уравнение его диагонали 3x + 7 y −10 = 0 . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

36.Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4) и C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине A.

37.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).

38.Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки

A(2; -3) и B(-5; 1).

39.Найти точку M1 , симметричную точке M2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки A(3; 4) и B(-1; -2).

40.Дана прямая 2x +3y + 4 =0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 45o к данной прямой.

41.Точка A(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7x − y +8 = 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

42.Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны:

1)	3x − y +5 =0,	x +3y −1=0 ;
2)	3x − 4y +1 =0 ,	4x −3y + 7 =0;
3)	6x −15y + 7 =0, 10x + 4y −3 = 0 ;
4)	9x −12y +5 =0 , 8x + 6y −13 =0;
5)	7x − 2y +1 =0 ,	4x + 6y +17 =0 ;
6)	5x −7y +3 =0 ,	3x + 2y −5 =0 .

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых. Указание. Воспользоваться условием перпендикулярности прямых

A1 A2 + B1B2 = 0 .

43.Определить угол ϕ, образованный двумя прямыми:

3x − y +5 =0, 2x + y −7 =0 ;

x 2 − y 3 − 5 = 0 , (3 + 2 )x + ( 6 − 3)y + 7 = 0 ; x 3 + y 2 − 2 = 0 , x 6 − 3y + 3 = 0 .

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

Указание. Воспользоваться формулой для определения угла между дву-

мя прямыми tgϕ = A1 B2 − A2 B1 .

A1 A2 + B1 B2

44.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты 2x −3y +12 = 0 и медианы 2x +3y =0 , про-

веденных из одной вершины.

45.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:

1)x +5y −35 =0 , 3x + 2y − 27 =0 ;

2)14x −9y − 24 =0 , 7x − 2y −17 =0 ;

3)12x +15y −8 = 0 , 16x +9y −7 =0;

4)8x −33y −19 =0 , 12x +55y −19 =0 ;

5)3x + 5 = 0 , y − 2 = 0 .

46.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:

1)3x +5y − 4 =0 , 6x +10y + 7 =0 ;

2)2x − 4y +3 =0, x − 2y =0;

3)2x −1 = 0, x + 3 = 0 ;

4)y +3 =0, 5y −7 =0.

47.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:

1)3x +5y − 4 =0 , 6x +10y −8 =0 ;

2)x − y 2 = 0 , x 2 − 2 y = 0 ;

3)x 3 −1 = 0 , 3x − 3 = 0 .

48.	Определить,	при каких значениях			a и b две прямые	ax − 2y −1 =0
	6x − 4y −b =0 : 1)		имеют	одну	общую точку; 2)	параллельны;
49.	3) совпадают.			значении a три прямые		2x − y +3 = 0,
	Определить,	при	каком

x + y +3 =0, ax + y −13 =0 будут пересекаться в одной точке.

50.Даны прямые:

1)2x +3y −6 =0; 2) 4x −3y + 24 =0;

3) 2x +3y −9 =0 ; 4) 3x −5y − 2 =0; 5) 5x + 2y −1 =0 .

Составитьдлянихуравнениявотрезкахипостроитьэтипрямыеначертеже.

51.Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3x − 4y −12 =0 от координатного угла.

52.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(5; -5) и

отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной

50 кв.ед.

53.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

54.Через точку M(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного

угла треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

55.Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

1) 3x /5 − 4y /5 −3 =0; 2) 2x /5 −3y /5 −1 =0;

3) 5x /13 −12y /13 + 2 =0; 4) −5x /13+12y /13−2 = 0;

5)− x + 2 = 0 ; 6) x − 2 = 0 ; 7) y + 2 = 0 ; 8) − y − 2 =0.

56.Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

1)4x −3y −10 =0 ;

2)4x /5 −3y /5 +10 =0 ;

3)12x −5y +13 = 0 ;

4)x + 2 = 0 ;

5)2x − y − 5 = 0 .

57.Даны уравнения прямых:

1)x − 2 = 0 ;

2)x + 2 = 0 ;

3)y −3 =0 ;

4)y +3 =0;

5)x 3 + y − 6 = 0 ;

6)x − y + 2 =0 ;

7)x + y 3 + 2 = 0 ;

8)xcosβ− ysinβ−q = 0 , q >0; β – острый угол ;

9)xcosβ+ ysinβ+q = 0 , q >0; β – острый угол;

Определить полярный угол нормали α и отрезок p для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров α и p построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая β = 30o и q = 2 ).

58.Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки от прямой в каждом из следующих случаев:

1)A(2; -1), 4x +3y +10 =0 ;

2)B(0; -3), 5x −12y − 23 =0;

3)P(-2; 3), 3x − 4y − 2 =0;

4)Q(1; -2), x − 2y −5 = 0.

59.Установить, лежат ли точка M(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых:

1)2x − y +5 =0;

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025184 Кб6Алкины.docx
#
27.03.2015243 Кб55Алюминий-кальций 12%.doc
#
27.03.2015208 Кб52Алюминий-кальций 20%.doc
#
27.03.2015209 Кб57Алюминий-кальций 25%.doc
#
01.05.20252 Мб3Анализ финансовой деятельности Coca Cola Co.docx
#
28.03.20153 Мб102Аналит. геометрия. Мазова Р.Е..pdf
#
27.03.201594 Кб97Анкета_1_Определение уровня удовлетворённости.doc
#
01.07.2025830 Кб1АПОИС_тезисы_v2.doc
#
27.03.20158 Мб37Артем_диплом.doc
#
01.07.2025461 Кб1Архитетура ИС Клюев.docx
#
28.03.201537 Кб116АТТЕСТАЦИОННЫЙ ЛИСТ Овчинников.docx