Аналит. геометрия. Мазова Р.Е
..pdfРешение:
Построение: М1А, М2В и М3С – биссектрисы углов при вершинах М1М2 М3. Составим уравнение сторон М1М2 и М1М3, используя уравнение прямой, прохо-
дящей черездветочки |
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
: x − y +3=0 и x -3 y +3=0 (рис. 2.7). |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
2 |
− x |
y |
2 |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
Найдем уравнение биссектрисы М1А: |
|
||||||||||
|
|
|
М1 A : |
|
у − х+ 3 = |
3у − х+3 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
10 |
откуда |
5 (у – х + 3)=3у – х + 3; |
|
5 у – |
5 х + 3 5 =3у – х + 3; |
|||||||
Уравнение будет иметь вид х( |
5 -1) + у(3 – |
5 )+ (-3 +3 5 )=0. |
|||||||||
Найдем уравнение биссектрисы М2В: |
|
||||||||||
|
y − x + 3 = 3х+ y −11 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
5 (х – у + 3) = у+3х -11; |
|
|
|
|
||||||
5 х- |
5 у+3 5 = 3х+у - 11; |
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение будет иметь вид |
|
|
|
|
|
||||||
( 5 −3) x −( 5 +1) y +(3 |
5 +11) =0. |
|
|
||||||||
Найдем уравнение биссектрисы |
|
|
|||||||||
М3С : |
х −3y + 3 = |
3х+ y −11 . |
|
|
Рис. 2.7 |
||||||
|
10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
Х – 3у + 3= 3х + у - 11;
Уравнениебудетиметьвид: х+ 2у– 7 = 0.
Найдем точки пересечения сторон треугольника с ответствующей биссектрисой. Используя правило Крамера, находим:
3õ+ y =11,
1)( 5 −1)x + (3− 5)y =3−3 5;
= |
3 |
5 −1 |
3 − |
1 |
= - 4 5 +10; |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
х |
= |
11 |
|
3− |
|
1 =3 5 −3 −11 5 +33 =30 −8 5; |
|
|
|
3−3 5 |
|
5 |
|
||
у |
= |
3 |
3 −3 |
11 = - 20 5 |
+20; |
||
|
|
5 −1 |
5 |
|
31
y = |
у |
= |
− |
20 5 + 20 |
= |
−10 5 |
+10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 4 5 +10 |
− 2 5 |
+5 |
|
|
|
15 − 4 5 |
|
−10 5 +10 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
30 −8 5 |
|
15 − 4 5 |
|
А |
− 2 5 +5 |
|
− 2 5 +5 |
|
. |
|||||||||
х = |
|
х |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− 4 5 + |
10 |
− 2 5 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) ( |
5 −3)x −( 5 +1)y =−3 5 −11, |
|
|
= |
|
5 −3 |
|
− 5 −1 |
= |
2 |
5 −10, |
|||||||||||
|
|
|
|
x −3у =−3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−3 |
|
|
|
|||
|
|
x |
= |
−3 5 −11 |
|
− |
5 −1 |
= −6 5 −30, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 −3 −3 5 −11 |
= −20 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
ó |
= |
− 20 |
= |
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−15 −3 5 |
|
−10 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 5 −10 |
|
5 −5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
õ = õ = |
−30 − 6 5 |
= |
|
|
|
 |
5 −5 |
|
5 |
− |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
−15 −3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
5 −10 |
|
|
5 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х − y = −3,
3)х+2 y =7;
= |
|
1 |
−1 |
|
= 2 +1 = 3, |
у = |
|
− 4 |
−2 |
|
= 4 + 6 =10, |
х = |
|
−3 |
−1 |
|
= −6 + 7 =1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
х = 1/3, у = 10/3. Следовательно, т. С(1/3,10/3).
Найдем периметр треугольника АВС: находим длины сторон АВ, ВС и АС и сложим их.
Р АВС = АВ + ВС + АС = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−15 −3 5 |
− |
15 −4 5 |
2 |
|
−10 |
|
− |
10 −10 5 |
2 |
+ |
|
−15 −3 5 |
− |
1 |
2 |
|
−10 |
− |
10 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
||||||
|
|
|
5 −5 |
|
5 −2 5 |
|
|
|
|
5 −5 5 − 2 |
5 |
|
|
|
5 −5 |
|
3 |
|
|
|
5 −5 |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
15 − 4 5 |
2 |
|
10 |
|
|
10 − |
10 5 |
2 |
|
75 |
−30 |
5 |
|
10 15 −2 |
5 |
|
|
10 |
|
30 −12 |
5 |
|
|
|||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
3 |
5 − 2 5 |
|
+ |
3 |
|
5 − |
2 5 |
|
|
47 |
−21 5 |
|
3 15 −5 5 |
3 |
|
45 −20 |
5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 19. Даны три вершины параллелограмма А(4;2), В(5;7), С(-3;4) Найти:
а. Координаты четвертой вершины D; б. Длины диагоналей AD и CB;
в. Точку пересечения диагоналей E; г. Угол при вершине А.
32
Решение:
а. Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому координаты т. E – пересечения диагоналей найдем как координаты середины отрезка ВC (рис. 2.8). Обозна-
чая их через |
хЕ , получим, что хЕ = |
5 + (−3) |
=1. |
|
|
2 |
|
уЕ = 7 +2 4 = 5,5
т. E(1; 5,5)
Зная координаты т. Е – середины диагонали AD и координаты одного из его концов А(4; 2); по формулам вычисления координат середины отрезка
x = |
х1 + х2 |
|
, |
|
|
у = |
у1 + у2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где х = 1, |
х1 =4, у =5,5, |
у1 = 2, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 = |
4 + хD |
|
хD = -2 ; |
5,5 = |
2 + уD |
|
|
|
|
|
|
|
|
уD = 9. Такимобразом, т. D(-2;9). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
б. BC = |
(−3 − 5)2 |
+ (4 − 7)2 = |
73 |
|
|
|
AD = |
(−2 − 4)2 +(9 − 2)2 |
|
= 85. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в. Найдем уравнения прямых АD и ВС , которые являются диагоналями |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х− х1 |
|
у− у1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
параллелограмма, по формуле |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
х − |
х |
|
у |
2 |
− у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
AD: |
|
х−4 |
= |
у−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х − 4 |
|
|
у − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−2 −4 |
9 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
7х – 28= -6у + 12, |
|
|
7х + 6у – 40 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ВС: |
|
|
|
|
|
х−5 |
= |
у−7 |
|
х−5 |
= |
у −7 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−3 −5 |
4 −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
-3х + 15 = -8у + 56, |
|
3х - 8у + 41 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Найдем точку пересечения прямых АD и ВС: E(1; 5,5) – точка пересече- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния диагоналей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х− х1 |
у− у1 |
|||||||
|
|
г. Найдем уравнение прямых АВ и АС по формуле |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
х |
2 |
− х |
у |
2 |
− у |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Представим уравнение в виде у = кх + в.
33
АВ: |
|
х − 4 |
= |
у − 2 |
, |
|
х− 4 |
= |
|
у − 2 |
, |
|
|
||||
|
|
5 − 4 |
7 − 2 |
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|||||
|
5х – 20 = у – 2, |
|
|
у = 5х – 18, к1 =5. |
|||||||||||||
АС: |
|
|
х− 4 |
= |
|
у − 2 |
, |
|
|
х− 4 |
= |
у − 2 |
, |
||||
|
|
|
−3 − 4 |
4 − 2 |
|
|
|
|
−7 |
2 |
|
2х – 8 = –7 у + 14, 7у = –2х + 22,
|
k2 − k1 |
|
|
− |
|
2 |
|
−5 |
|
|
|
− |
37 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
tgA = |
|
= |
7 |
|
|
|
= |
|
7 |
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
1 |
+ k k |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 2 |
|
|
1+ |
5 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: а) D(-2;9); б) BC= 73 ; АD=
|
|
y = − |
2 |
х+ |
22 |
, |
к2 |
=− |
2. |
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
7 |
37 |
|
A= arctg |
37 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
85 ; в) Е(1; 5,5); г) САВ=arctg 373 .
Пример20. Найтивнутренние углытреугольника, стороныкоторогозаданы уравнениями х+ 2у= 0,
х + 4у – 6 = 0; х – 4у – 6 = 0.
Дано: AB: х + 2у = 0, BC: х + 4у - 6 = 0;
AC: х - 4у - 6=0 (рис. 2.9).
Найти ВAС, АBС, ВCА.
Решение:
x + 2у= 0, х+ 4у– 6 = 0, х– 4 у– 6 = 0.
Рис. 2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем эти уравнения по формуле с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угловымкоэффициентому= кх+ в. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
AB: х + 2у = 0, |
|
2у = -х, |
|
|
|
|
|
у =−1 х. |
|
|
|
|
|
|
к =− 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ВС: х + 4у – 6 = 0, 4у = – х + 6, |
|
|
|
|
|
у = −1 |
х+11 . |
|
|
к2 |
= −1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
AC: х – 4у – 6 = 0, |
|
|
|
4у = х – 6, |
|
|
|
|
|
|
у = 1 х−11 , |
|
|
к = −1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg( АВС) = |
|
к2 − |
к1 |
|
= |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
− 4 |
+ 2 |
|
|
|
= |
4 |
|
|
|
|
= |
|
8 |
|
|
= |
2 |
|
||||||||||||
1 |
+ |
к1 |
|
к2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
9 |
4 |
|
9 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
АВС = arctg |
2 |
=12°30 |
′ |
|
9 |
||||
|
|
|
к3 −к2 |
|
1 |
+ |
1 |
|
|
|
16 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tg( ВАС) = |
|
|
= |
|
4 |
4 |
|
|
= |
= |
. |
ВАС = arctg |
|
= 28°. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
+ к2 к3 |
|
1− |
|
|
1 |
|
|
15 2 |
|
15 |
|
|
15 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BAC=180°-28°-12°30'=139°30'.
Ответ: ABC= 12°30'; BAC=28°; BCA=139°30'.
Пример 21. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x + 2y = 4 и х + 2у = 10 и уравнение одной из его диа-
гоналей у = х + 2 (рис. 2.10).
Решение:
1.Решим две системы из двух линейных уравнений. Первая x+2y=4 и y=x+2 даст одну вершину А ромба: A(0,2).
2.Найдемсерединудиагонали: M(1;3).
3.Используя свойство ромба, найдем его вторую диагональ (она будет перпендикулярна заданной): у = -x + b. Подставим координаты середины отрезка АС – точки М(1;3), найдем b=4, т.е вторая диа-
гональ y =−x +b, b=x+y=1+3=4, b=4. |
|
|
y=-x+4. Вторая сторона х + 2у = 10 и |
Рис. 2.10 |
|
диагональ у = х + 2 даст другую вершину |
||
|
Сромба: C(2,4).
4.Найдем точки пересечения этой диагонали со сторонами – это будут две другие вершины. Решим две системы из двух линейных уравнений:
первая x+2y=4 и y=-x+4 даст одну вершину ромба B(4,0); вторая х+2у=10 и у=-х+4 даст другую вершину ромба D(-2,6):
Ответ: А(0;2), В(4;0), С(2;4), D(-2;6).
2.3.Задачи для самостоятельного решения
1.Построить прямые, отсекающие на оси Oy отрезок b = 3 и составляющие
сосью Ox угол: 1) 45o ; 2) 135o . Написать уравнения этих прямых.
2.Построить прямые, отсекающие на оси Oy отрезок b = −3 и составляющие с осью Ox угол: 1) 60o ; 2) 120o. Написать уравнения этих прямых.
35
3.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью Ox угол: 1) 45o ; 2) 60o ; 3) 90o; 4) 120o; 5) 135o .
4.Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку (− 2,3), написать ее уравнение.
5.Определить параметры k и b для каждой из прямых:
1) 2x −3y =6 ; 2) 2x +3y =0 ; 3) y = −3 ; 4) x / 4 + y /3 =1.
6.Построить прямые:
1)3x + 4y =12; 2) 3x − 4y =0 ; 3) 2x − 5 = 0 ; 4) 2y +5 =0 .
7.Определить параметры k и b прямой, проходящей через точку A(2; 3) и
составляющей с Ox угол 45o . Написать уравнение этой прямой.
8. Привести к виду в отрезках на осях уравнения прямых: 1) 2x −3y =6 ;
2) 3x − 2y + 4 =0.
9.Даны точки O(0;0) и A(−3;0). На отрезке OA построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке B(0;2). Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
10.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.
11. Прямые y = −2 и y = 4 пересекают прямую 3x − 4y −5 =0 соответствен-
но в точках A и B. Построить вектор AB , определить его длину и проекции на оси координат.
12.Лежат ли точки A(3; 5), B(2; 7), C(-1; -3) и D(-2; -6) на прямой y = 2x −1
или же они выше или ниже этой прямой ?
13.Каков геометрический смысл неравенств:
1)y >3x +1; 2) y <3x +1; 3) 2x + y − 4 ≥0 ; 4) 2x + y − 4 <0 ?
14.Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:
1) |
y < 2 − x , |
x > −2 , y > −2 ; |
2) |
y > 2 − x , |
x < 4, y < 0 ; |
3) |
x / 4 + y / 2 ≤1, y ≥ x + 2 , x ≥ −4 . |
Указание. Слово «область» здесь означает часть плоскости xOy, коор-
динаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым условиям (например, неравенствам). Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на границе области. В противном случае область называется открытой.
15.Прямые x = −1 и x =3 пересекают прямую y = 2x +1 в точках A и B. Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.
16.Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3;-3), M5(3;-1),
M6(-2; 1) лежат напрямой 2x −3y −3 =0 икакиенележатнаней.
17.Определить точки пересечения прямой 2x −3y −12 =0 с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
18.Найти точку пересечения двух прямых 3x − 4y − 29 =0, 2x +5y +19 =0.
36
19.Стороны AB, BC и AC треугольника ABC даны соответственно уравнениями 4x +3y −5 =0 , x −3y +10 =0 , x − 2 = 0 . Определить коорди-
наты его вершин.
Указание. Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.
20. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8x +3y +1 =0 , 2x + y −1 =0 и уравнение одной из его диагоналей 3x + 2y +3 =0 . Определить координаты вершин этого параллелограмма.
21.Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy , для каждой из прямых: 1) 5x − y +3 =0;
2)2x +3y −6 =0;
3)5x +3y + 2 =0 ;
4)3x + 2y =0 ;
5)y −3 =0 .
22.Дана прямая 5x +3y −3 =0 . Определить угловой коэффициент k пря-
мой: а) параллельной данной прямой; б)перпендикулярной к данной прямой.
23.Дана прямая 2x +3y + 4 =0 . Составить уравнение прямой, проходящей
|
через точку M0(2; 1): |
а) параллельно данной прямой; б) перпендикуляр- |
|
24. |
но к данной прямой. |
|
2x −3y +5 =0 , |
Даны уравнения |
двух сторон прямоугольника |
||
|
3x + 2y −7 =0 и одна из его вершин A(2; -3). Составить уравнения двух |
||
|
других сторон этого прямоугольника. |
|
|
25. |
Даны уравнения двух сторон прямоугольника x − 2y =0, |
x − 2y +15 =0 |
и уравнение одной из его диагоналей 7x + y −15 =0. Найти вершины прямоугольника.
26.Найти проекцию точки P(-6; 4) на прямую 4x −5y +3 =0 .
27.Найти точку Q , симметричную точке P(-5; 13) относительно прямой
2x −3y −3 =0.
28.В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей между ними:
1) 3x − 2y −1 =0 , |
3x − 2y −13 = 0 ; |
|
2) |
5x + y +3 =0 , |
5x + y −17 = 0 ; |
3) |
2x +3y −6 =0, |
4x + 6y +17 =0 ; |
4) |
5x + 7 y +15 =0 , 5x + 7 y + 3 = 0 ; |
|
5) |
3x −15y −1 =0 , x −5y − 2 = 0. |
29. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
30. Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнения его сторон.
37
31.Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1), M3(3; 2). Составить уравнения его высот.
32. Стороны треугольника заданы уравнениями 4x − y −7 =0 , x +3y −31=0 , x +5y −7 =0. Определить точку пересечения его высот.
33.Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1) и C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B.
34.Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами
A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
35. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5x + 2y −7 =0 , 5x + 2y −36 =0 и уравнение его диагонали 3x + 7 y −10 = 0 . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
36.Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4) и C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине A.
37.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
38.Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки
A(2; -3) и B(-5; 1).
39.Найти точку M1 , симметричную точке M2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки A(3; 4) и B(-1; -2).
40.Дана прямая 2x +3y + 4 =0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 45o к данной прямой.
41.Точка A(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7x − y +8 = 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
42.Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны:
1) |
3x − y +5 =0, |
x +3y −1=0 ; |
2) |
3x − 4y +1 =0 , |
4x −3y + 7 =0; |
3) |
6x −15y + 7 =0, 10x + 4y −3 = 0 ; |
|
4) |
9x −12y +5 =0 , 8x + 6y −13 =0; |
|
5) |
7x − 2y +1 =0 , |
4x + 6y +17 =0 ; |
6) |
5x −7y +3 =0 , |
3x + 2y −5 =0 . |
Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых. Указание. Воспользоваться условием перпендикулярности прямых
A1 A2 + B1B2 = 0 .
43.Определить угол ϕ, образованный двумя прямыми:
3x − y +5 =0, 2x + y −7 =0 ;
x 2 − y 3 − 5 = 0 , (3 + 2 )x + ( 6 − 3)y + 7 = 0 ; x 3 + y 2 − 2 = 0 , x 6 − 3y + 3 = 0 .
Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
38
Указание. Воспользоваться формулой для определения угла между дву-
мя прямыми tgϕ = A1 B2 − A2 B1 .
A1 A2 + B1 B2
44.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты 2x −3y +12 = 0 и медианы 2x +3y =0 , про-
веденных из одной вершины.
45.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
1)x +5y −35 =0 , 3x + 2y − 27 =0 ;
2)14x −9y − 24 =0 , 7x − 2y −17 =0 ;
3)12x +15y −8 = 0 , 16x +9y −7 =0;
4)8x −33y −19 =0 , 12x +55y −19 =0 ;
5)3x + 5 = 0 , y − 2 = 0 .
46.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
1)3x +5y − 4 =0 , 6x +10y + 7 =0 ;
2)2x − 4y +3 =0, x − 2y =0;
3)2x −1 = 0, x + 3 = 0 ;
4)y +3 =0, 5y −7 =0.
47.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:
1)3x +5y − 4 =0 , 6x +10y −8 =0 ;
2)x − y 2 = 0 , x 2 − 2 y = 0 ;
3)x 3 −1 = 0 , 3x − 3 = 0 .
48. |
Определить, |
при каких значениях |
a и b две прямые |
ax − 2y −1 =0 |
||
|
6x − 4y −b =0 : 1) |
имеют |
одну |
общую точку; 2) |
параллельны; |
|
49. |
3) совпадают. |
|
значении a три прямые |
2x − y +3 = 0, |
||
Определить, |
при |
каком |
x + y +3 =0, ax + y −13 =0 будут пересекаться в одной точке.
50.Даны прямые:
1)2x +3y −6 =0; 2) 4x −3y + 24 =0;
3) 2x +3y −9 =0 ; 4) 3x −5y − 2 =0; 5) 5x + 2y −1 =0 .
Составитьдлянихуравнениявотрезкахипостроитьэтипрямыеначертеже.
51.Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3x − 4y −12 =0 от координатного угла.
52.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(5; -5) и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной
50 кв.ед.
53.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.
54.Через точку M(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного
39
угла треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
55.Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:
1) 3x /5 − 4y /5 −3 =0; 2) 2x /5 −3y /5 −1 =0;
3) 5x /13 −12y /13 + 2 =0; 4) −5x /13+12y /13−2 = 0;
5)− x + 2 = 0 ; 6) x − 2 = 0 ; 7) y + 2 = 0 ; 8) − y − 2 =0.
56.Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:
1)4x −3y −10 =0 ;
2)4x /5 −3y /5 +10 =0 ;
3)12x −5y +13 = 0 ;
4)x + 2 = 0 ;
5)2x − y − 5 = 0 .
57.Даны уравнения прямых:
1)x − 2 = 0 ;
2)x + 2 = 0 ;
3)y −3 =0 ;
4)y +3 =0;
5)x 3 + y − 6 = 0 ;
6)x − y + 2 =0 ;
7)x + y 3 + 2 = 0 ;
8)xcosβ− ysinβ−q = 0 , q >0; β – острый угол ;
9)xcosβ+ ysinβ+q = 0 , q >0; β – острый угол;
Определить полярный угол нормали α и отрезок p для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров α и p построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая β = 30o и q = 2 ).
58.Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки от прямой в каждом из следующих случаев:
1)A(2; -1), 4x +3y +10 =0 ;
2)B(0; -3), 5x −12y − 23 =0;
3)P(-2; 3), 3x − 4y − 2 =0;
4)Q(1; -2), x − 2y −5 = 0.
59.Установить, лежат ли точка M(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых:
1)2x − y +5 =0;
40