Определение направляющих косинусов нормами

Пусть имеется поверхность, уравнение которой имеет вид ,- произвольная точка на заданной поверхности.

Пересечём заданную поверхность плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно координатной плоскости.

Уравнение такой плоскости имеет вид . Пересечение поверхностис плоскостьюдаёт некоторую кривую, параметрические уравнения которой имеют вид:,,(здесь- параметр).

Вектор, касательный к линии , будет иметь вид.

В точке :.

Также пересечём поверхность плоскостью, через точкупараллельно плоскости. Пересечение поверхностис плоскостьюдаёт некоторую кривую, параметрические уравнения которой имеют вид,,(Здесь- параметр).

Вектор, касательный к линии , будет иметь вид.

В точке :.

Вектор будет направлен по нормали в точке.

, ;.

Искомый единичный вектор нормали, компоненты которого равны направляющим косинусам, будет иметь вид:

; .

;

;

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если взять , топоменяет направление, а следовательно перед радикалами поменяются знаки. Т. е. в общем виде надо перед радикалами ставить «±».

Площадь поверхности

Предварительно рассмотрим искажение площади при проектировании плоских областей.

Пусть плоскости иобразуют между собой двугранный угол, т. е.- это угол между двумя нормалями, проведёнными в каждой из плоскостей к общей точке на линии пересеченияи.

Обозначим линию пересечения через .

Пусть на плоскости задана прямоугольная область, у которой одна сторона параллельна линии, а другая перпендикулярна. Спроектируем областьна плоскость. На плоскостиобразуется прямоугольная область, у которой тоже одна сторона будет параллельна, а другая перпендикулярна. Обозначим сторонупараллельнуючерез, а сторону перпендикулярнуючерез. Для соответствующих сторон, которые мы обозначим через,, будем иметь,. А тогда,, или.

Пусть теперь на плоскости задана криволинейная область. Спроектируем её на плоскость. Обозначим проекцию через. Разобьем областьпрямыми линиями, параллельными и перпендикулярными линии, на некоторое число подобластей. При достаточно мелком разбиении большинство из подобластей будут представлять собой прямоугольники.

Тогда площадь будет приблизительно равна сумме площадей прямоугольников, целиком принадлежащих:

.

Спроектировав линии разбиения на плоскость , разобьём областьна соответствующее число подобластей, из которых будетпрямтугольников.

.

Причем , откуда следует.

При всё более мелком разбиении области на прямоугольники, получим

.

Соответственно . Так как для каждой из подобластей справедливо равенство, гдене зависит от, то приходим к:

.

Выведем это соотношение ещё раз через преобразование интегралов.

Пусть на плоскости задана декартовая система координат, у которой одна ось совпадает с линией пересечения плоскостейи, а другая перпендикулярна ей. Пусть это осии. Тогда. Спроектируем оси измененияина плоскость. Обозначим проекциии. Введём на осях те же единицы длины, что и на осяхи.

Длина любого отрезка на оси при этом совпадает с длиной любого отрезка на оси. Следовательно, при таком проектировании для координатылюбой точки наи соответствующей ей при проектировании координатеточки набудем иметь.

В то же время, для координаты любой точки наи соответствующей ей при проектировании координатеточки набудет выполняться соотношение. Это означает, что при таком проектировании происходит преобразование координат,.

Имеем .

Подсчитаем , отсюда получим

.

Таким образом, при проектировании площадь плоской фигуры умножается на косинус угла между той плоскостью, с которой проектируется и той, на которую проектируется.

Определим теперь для произвольной поверхности понятие площади. Ограничимся случаем, когда уравнение поверхности имеет вид .

Положим, что цилиндр проектирует заданную поверхностьна плоскостьв виде области. Разобьём площадьна малые элементы. Цилиндры, построенные на основаниях, разобьютна элементы.

Возьмем в каждом из элементов по точке, которой соответствует на поверхноститочка, где.

Проведем в точке касательную плоскость и нормальк поверхности, и обозначим черезплоскую площадку, вырезаемую на этой касательной плоскости цилиндром с основанием.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности назовем предел суммы площадей плоских площадокпри бесконечном уплотнении разбиения области, т.е. когда число элементовбесконечно растет, а каждый из них бесконечно уменьшается по всем направлениям.

В дальнейшем переход к пределу при бесконечном уплотнении разбиения некоторой области (Q) будем обозначать символом (Q)0.

Покажем, что когда иявляются непрерывными функциями, то этот предел существует и выражается двойным интегралом по области.

Элементы есть проекция плоского элементана плоскость, причем нормали к плоскостям, в которых лежат эти две плоские площадкиисоставляют угол. Следовательно, угол между самими плоскостями тоже равен.

Следовательно ,отсюда следует. Берем нормаль в ту сторону, чтобы. То есть если, то.

Таким образом, для площади , рассматриваемой поверхности, мы имеем по определению:

.

В случае непрерывных ипредел, стоящий в правой части равенства, существует и представляет собой двойной интеграл по области.

Получим .

Этим доказано существование площади и установлено её выражение.

Можно написать формулы для площади и так:

, считая угол острым.

Или , если не требовать, чтобы уголбыл острым.

Нужно брать абсолютное значение , т.к. площадь считается величиной положительной.

Выражение называется элементом площади поверхности.

Если на заданной поверхности в заданной системе координат есть такие участки, где , то для определения площади таких участков надо или проектировать их на другие координатные плоскости, или изменять систему координат.

Скажем, есть участок поверхности, где и где уравнение поверхности можно записать в виде, то площадь такого участка можно определить через его проекцию на координатную плоскость. Тогда.