9. Какой системе уравнений должны удовлетворять базисные функции wavelet-разложения, удовлетворяющие условиям восстановления в схеме двухполосного анализа-синтеза сопряженными фильтрами?

Синтез сопряженными фильтрами:

Пусть .

Тогда условия полного восстановления будут:

Синтез сопряженными квадратурными зеркальными фильтрами:

Пусть .

Тогда: и второе условие восстановления выполняется автоматически. Остается простое условие: .

10. Каким образом осуществляется сжатие при использовании wavelet-разложения.

Малые значения вейвлет-коэффициентов означают низкую энергетику соответствующих полос в сигнале. Эти коэффициенты могут быть отброшены без существенного искажения сигнала. Таким образом достигается уменьшение данных.

Вейвлет сам ничего не сжимает! ЧИТАЙТЕ ВИКИпедию.

11. Чем определяется эффективность wavelet-разложения произвольного сигнала по сравнению, скажем, с разложением в ряд Фурье?

Недостатки Фурье-преобразования:

а) исходный сигнал заменяется на периодический, с периодом равным длительности исследуемого образца.

б) FT плохо работает при изменении параметров процесса со временем (нестационарности), поскольку дает усредненные коэффициенты для всего исследуемого образца.

Вейвлет-преобразование в большой степени позволяет преодолеть перечисленные недостатки, поскольку базисные функции WT обладают свойством временной локализации, т.е. обладают конечной энергией.

12. Что понимается под термином «ортогональный многомасштабный анализ» в приложении к wavelet-разложениям?

Анализ проводится с ортогональными базисными функциями и с изменением масштаба. Необходимым условием для возможности осуществить восстановление сигнала по его DWT путем обратного преобразования является ортогональность базиса.

Многомасштабный анализ проводится с помощью набора последовательных аппроксимирующих пространств V_j, которые представляют собой отмасштабированные относительно смещений на целые числа разновидности одного центрального функционального пространства V₀. Функции и служат высокочастотными и низкочастотными фильтрами соответственно.

Ортогональным многомасштабным анализом в пространстве называется система подпространств , удовлетворяющая следующим условиям:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. существует такая, что функции  образуют ортонормированный базис пространства . Функция называется скейлинг-функцией (scaling function). Любое отличается от только перемасштабированием.

Многомасштабный анализ – это математическая конструкция, синтезирующая две идеи обработки сигналов. Первая идея – разложение сигнала по поддиапазонам (subband decomposition) при помощи квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters). Вторая идея – пирамидное представление (pyramid representation). Обе идеи связаны с применением к сигналу фильтров специального вида. В первом случае теория строилась в терминах Фурье-преобразования сигнала, во втором – в терминах исходного сигнала.

13. Wavelet Хаара.

scaling функция: , wavelet функция: .

Две соседние выборки (а, б) s=(а+б)/2 – масштаб, d=(б-а) – сдвиг. Отсюда, а=s+d/2, б=s-d/2.

Свойства: 1. использует корреляцию, 2. более раскодируем.