3. Линейные преобразования решёток.

Рассмотрим действие невырожденного линейного преобразования =n-мерного пространства в себя. Пусть - некоторая решётка. Обозначим черезмножество точек.

Утверждение 3.8. Множество точек является решёткой.

Доказательство. Пусть - базис решётки. Система векторовлинейно независима (в силу невырожденности линейного преобразования) и является порождающей для абелевой группы, следовательно,- решётка (Определение 1 .6).

Условие невырожденности линейного преобразования в условиях утверждения отбросить нельзя. Действительно, линейное преобразование двумерного пространства, заданное матрицейне переводит решёткув решётку.

Из проведённых рассуждений при доказательстве утверждения видно, что - базис решётки, а определители решётокисвязаны равенством.

Отметим два частных случая. Во первых, если - вещественное число, то множество, является решёткой с определителем. Эту решётку будем обозначать через. Во вторых, любую решёткуразмерностиn можно представить в виде , где- некоторое невырожденное линейное преобразование. Действительно, если- произвольный базис, то линейное преобразованиезадаётся матрицей, столбцы которой образованы координатами векторов.

4. Двойственная решётка

Пусть V - линейное пространство над полем вещественных чисел размерности n, - решётка той же размерности. Рассмотрим двойственное пространство( пространство линейных форм) кV. В двойственном пространстве выделим множество линейных форм , принимающих целочисленные значения на всех векторах из решётки. Покажем, что множество линейных формявляется решёткой в двойственном пространстве. Для этого достаточно убедиться в существовании линейно независимой системы векторов (линейных форм), множество всех линейных комбинаций с целочисленными коэффициентами которых, совпадает с решёткой. Пусть- базис решётки. Так как система векторов- линейно независимая, то найдутся линейные формы, что. Векторы- линейно независимые, и любой вектор из множества представляется в виде их линейной комбинации с целочисленными коэффициентами. С другой стороны, любая линейная комбинация с целочисленными коэффициентами векторовпринимает целочисленные значения на любом векторе решётки, и значит, принадлежит множеству. Тем самым установлено равенство, и, следовательно, множествоявляется решёткой (Определение 1 .6). Решётканазывается двойственной решёткой к решётке.

Рассмотрим свойства двойственных решёток.

Утверждение 3.9. Пусть - двойственная решётка к решётке . Тогда

1. Произведение определителей решётки и двойственной к ней равно 1 ().

2. Двойственная решётка к двойственной решётке совпадает с исходной решёткой ().

Доказательство. Пусть - базис решётки. Так как система векторов- линейно независимая, то найдутся линейные формы, что. Выше было показано, что система векторовобразует базис решётки. Для доказательства первого утверждения осталось заметить, что .

Поскольку включение очевидно, то для доказательства второй части утверждения достаточно доказать обратное включение . Пусть b принадлежит . Представим его в виде. Числаявляются целыми, и, значит, точкаb принадлежит решётке , утверждение тем самым доказано.

Если зафиксирован вектор из двойственного пространства, то точки x, для которых bx=0, лежат в гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Утверждение 3.10. Для того, чтобы существовали n-1 линейно независимых точек решётки с условием (0<i<n), необходимо и достаточно, чтобы , где- некоторое вещественное число, отличное от0, а - точка решёткидвойственной к решётке.

Доказательство. Предположим сначала, что (0<i<n). Тогда найдётся такой базис решётки(Теорема 3 .10), чтос целыми(). Отсюда последовательно получаем(0<i<n). Пусть - базис двойственной решётки, взаимный к базису(то есть). Представим векторb в виде . Необходимость условия утверждения доказана.

Докажем его достаточность. Пусть , где - точка решёткидвойственной к решётке. Если, то утверждение очевидно. В противном случае найдётся базисдвойственной решётки, что. Пусть- базис решёткивзаимный к базису двойственной решётки. Так какприi>1, то приi>1. Достаточность условия утверждения доказана.

Обозначим через множество всех векторов решётки, для которых. Очевидно, множествоявляется абелевой группой, а значит, является решёткой (Утверждение 1 .3). Если, то по доказанному выше утверждению, размерность решёткиравнаn-1.

Следствие 3.5. Пусть - примитивный вектор решётки двойственной решётки . Тогда определитель (n-1)-мерной решётки равен .

Доказательство. Дополним вектор до базисадвойственной решётки. Пусть- базис решётки, взаимный к базисудвойственной решётки. Векторыобразуют базис решётки. Координаты вектораобразуют первый столбец обратной матрицы к, и значит, его компоненты находятся по формулам(i=1,..,n), где - минор матрицыA, получаемый вычёркиванием i-го столбца и j-ой строки. Далее, . Квадрат определителя подрешёткиравен определителю матрицы(см. п.2.2). Раскрыв определитель произведения по формуле Бине - Коши, получим равенство. Тем самым следствие доказано.

Пусть теперь зафиксирована линейно независимая система векторов двойственного пространства . Обозначим черезмножество точек решётки, удовлетворяющих равенствам, приi=1,…,k, а через - множество. Оба этих множества, очевидно, являются подрешёткамии, соответственно. Имеет место, следующее обобщение изложенных ранее результатов.

Теорема 3.14. Пусть подрешётка содержит ненулевые векторы. Тогда сумма размерностей подрешёток и равна n, и, кроме того, .

Доказательство. Случай, когда подрешётка , состоит из одного нулевого вектора, очевиден. Пусть векторыобразуют базис подрешёткирешётки, а векторы- базис решётки, причём, приi=1,..,m (Теорема 3 .12). Поскольку , то, и, значит,, приi=1,..,m. Обозначим через базис решётки, взаимный к. Векторыобразуют базис подрешётки. Таким образом, показано, что сумма размерностей подрешётокиравнаn. Обозначим через F матрицу, составленную из координат векторов , через- матрицу, составленную из координат векторов, и черезA - матрицу, которая получается приписыванием к первым m столбцам матрицы последнихn-m столбцов матрицы F. Поскольку , то матрицаимеет блочно диагональный вид. По главной диагонали расположены два блока, равныхи. Определители этих блоков равныи, соответственно (п.2.2), а, значит,. Произведение матрицтакже имеет блочно диагональный вид. По главной диагонали расположены блокm-го порядка, равный единичной матрице и блок n-m-го порядка, равный . Таким образом, определитель этой матрицы равен. С другой стороны, определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц, а, значит. Исключив из двух последних равенств определитель матрицыA, выводим требуемое равенство .

Рассмотрим действие невырожденного линейного преобразования на отношение между двойственными решётками. Пустьбазис решётки , - взаимный базис двойственной решётки. Система векторов образует базис решётки, следовательно, взаимный базис двойственной решётки к решёткебудет . Таким образом, . Оформим изложенное выше в виде утверждения.

Утверждение 3.11. Пусть - невырожденное линейное преобразование,- решётка. Тогда решёткой, двойственной к решётке, является решётка, где преобразованиеи решёткаявляются двойственными к преобразованиюи решётке, соответственно.