3. Базисы решётки и подрешёток.

В этой главе разберём вопросы, связанные с выбором базиса решётки и её подрешёток.

1. Выбор базиса решётки.

Пусть - подрешётка решётки.

Теорема 3.10. Для любого базиса подрешётки , существует такой базисрешётки что

, где и.

Доказательство. Пусть - базис решётки . Составим матрицуC, столбцы которой образованы координатами векторов в базисе . Найдётся унимодулярная матрица P, что матрица A=PC является эрмитовой. Для доказательства теоремы осталось заметить, что столбцы матрицы P являются координатами искомых базисных векторов в базисе .

Если размерности решётки и её подрешёткисовпадают, то справедлива теорема.

Теорема 3.11. Пусть размерности решётки и её подрешётки равны. Тогда для любого базисарешётки , существует такой базис подрешётки что

, где и.

Доказательство. Пусть - базис подрешётки . Составим матрицуC, столбцы которой образованы координатами векторов в базисе . Найдётся унимодулярная матрица P, что матрица A=CP является эрмитовой. Для доказательства теоремы осталось заметить, что столбцы матрицы являются координатами искомых базисных векторов в базисе .

В некоторых случаях полезна следующая теорема.

Теорема 3.12. Существуют такие базисы решётки и её подрешётки , что, гдеиi=1,…,k.

Доказательство. Пусть - базис решётки ,- базис подрешётки. Составим матрицуC, столбцы которой образованы координатами векторов в базисе . Найдутся унимодулярные матрицы P и T, что матрица A=PCT является нормальной диагональной формой Смита. Для доказательства теоремы осталось заметить, что столбцы матрицы P являются координатами базисных векторов в базисе , а столбцы матрицы - координатами базисных векторовв базисе подрешётки.

Из только что доказанной теоремы следует простая характеристика индекса подрешётки решётки(если размерности подрешётки и решётки совпадают).

Следствие 3.2 Индекс подрешётки в решёткеравен по абсолютной величине определителю матрицы, образованной координатами базисных векторов подрешёткив базисе решётки.

Доказательство. Выберем базисы подрешётки () и решётки() так, чтобы выполнялись условия предыдущей теоремы. Каждая точка решётки находится в одном и только одном из классов смежности вида, где. Общее количество смежных классов (индекс подрешётки) равно, что равно определителю матрицы, образованной координатами базисных векторовподрешёткив базисе решётки . Пусть теперь- другой базис подрешётки, а- другой базис решётки. Матрица, образованная координатамив базисевычисляется по формуле, гдеP - матрица перехода от к,T - матрица перехода от к . Матрицы перехода - унимодулярные ( Теорема 2 .3), следовательно, по свойствам определителя, определитель матрицы по абсолютной величине равен индексу подрешёткирешётки.

2. Дополнение до базиса решётки.

Часто возникает вопрос, можно ли дополнить систему векторов решётки до её базиса. Конечно, указанная система векторов должна быть линейно независимой. Приведём пример системы векторов из, которую нельзя дополнить до базиса. Это векторы,…,. Естественно, возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять система векторов решётки, чтобы её можно было дополнить до базиса решётки?

Пусть - базис решётки . Обозначим черезеё подрешётку, образованную целочисленными комбинациями векторов(). Теорема 3 .12 утверждает: найдутся такие базисы решётки иеё подрешётки, что, гдеиi=1,..,k. Числа являются диагональными элементами нормальной диагональной формы Смита матрицыA, образованной координатами векторов в базисе . Если , то, гдеi=1,..,k, и система векторов может быть дополнена до базиса решётки векторами . Если найдётся i, при котором , то система векторовне может быть дополнена до базиса решётки. Действительно, допустим, нам удастся дополнить систему векторовдо базиса решётки. Тогда, теми же самыми векторами можно дополнить систему векторовдо базиса решётки. Разложим векторпо этому базису. Коэффициенты разложения определяются единственным образом и являются целыми числами, но. Следовательно, допущение не верно, и система векторовне может быть дополнена до базиса решётки.

Таким образом, для того чтобы система векторов могла быть дополнена до базиса решётки необходимо и достаточно выполнения равенств, гдеi=1,..,k. Числа являются диагональными элементами нормальной диагональной формы Смита матрицыA, образованной координатами векторов в базисе и равны отношению наибольших общих делителей миноров соответствующего порядка матрицы A (Теорема 2 .6). Следовательно, условия , приi=1,..,k равносильны условиям равенства 1 наибольшего общего делителя всех миноров i-го порядка матрицы A, при i=1,..,k. Поскольку является делителем, то последние условия равносильны равенству. Тем самым доказана теорема.

Теорема 3.13. Систему векторов решётки можно дополнить до базиса всей решётки тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель миноровk-го порядка матрицы A, образованной координатами векторов в некотором базисе решётки , равен 1.

Отметим, что доказательство теоремы носит конструктивный характер и даёт алгоритм дополнения системы векторов до базиса решётки.

Вектор b назовём примитивным, если его можно дополнить до базиса решётки. Из предыдущей теоремы вытекает простое следствие.

Следствие 3.3. Вектор b является примитивным тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель его координат в некотором базисе решётки равен 1.

В некоторых случаях понадобится специальное предложение, которое сейчас вытекает из теоремы.

Следствие 3.4. Пусть - базис решётки, и пусть- некоторая точка этой решётки. Для того чтобы систему векторовможно было дополнить до базиса решётки, необходимо и достаточно, чтобы наибольший общий делитель чиселравнялся 1.

Доказательство. Матрица, образованная координатами векторов в базисе , имеет вид . Для завершения доказательства следствия осталось заметить, что ненулевые минорыm-го порядка этой матрицы принимают значения .