7. Эрмитова форма матрицы.

Рассмотрим вопрос, к какому простейшему виду можно привести матрицу гомоморфизма за счёт изменения базиса только одной из решёток. Из предыдущего материала следует, что данный вопрос можно свести к следующему вопросу.

К какому простейшему виду можно привести матрицу с целочисленными элементами, используя элементарные преобразования только со строками или только со столбцами?

Элементарные преобразования со столбцами матрицы, при транспонировании становятся элементарными преобразованиями со строками. Поэтому, ниже будем рассматривать только элементарные преобразования со строками. Далее, для простоты изложения, будем считать (до конца этого раздела), что наибольший ненулевой минор матрицы расположен в первых столбцах. Случай, когда такого предположения не делается, будем оговаривать специально.

Ниже будет показано, что матрица A элементарными преобразованиями со строками приводится к треугольному виду ,где rgA=r. Причём не ненулевые элементы в столбце неотрицательны и удовлетворяют неравенствам , при. МатрицаS называется эрмитовой формой. Если ненулевой минор максимального порядка не расположен в первых столбцах, то эрмитова форма будет иметь ступенчатый вид и отличаться от приведённой перестановкой столбцов.

1. Существование эрмитовой формы.

Приведём алгоритм, приводящий матрицу A из элементарными преобразованиями со строками к эрмитовой форме.

Алгоритм 2.3. Построение эрмитовой формы матрицы.

1. Положим i=1, j=1.

2. Если i>m или j>n, то конец, алгоритм работу закончил. Иначе перейдём на следующий шаг.

3. Если , то перейдём на шаг 4, иначе перейдём на шаг 5.

4. Если , для всехk>i то увеличим i на 1 и вернёмся на шаг 2. В противном случае найдём k ( k>i ), при котором . Переставим строки с номерамиi и k. Умножением i-ой строки на -1, если это необходимо, добьёмся положительности . Перейдём на шаг 6.

5. Если , для всехk>i то увеличим i и j на 1 и вернёмся на шаг 2. В противном случае найдём k ( k>i ), при котором . Переставим строки с номерамиi и k. Умножением i-ой строки на -1, если это необходимо, добьёмся положительности . Перейдём на следующий шаг.

6. Из строки с номером k, где k=1,…,i-1,i+1,…,m, вычтем строку i, умноженную на число . Вернёмся на шаг 5.

Выполнение шагов 5,6 алгоритма приводит к уменьшению элемента . В силу положительности этого элемента, такое уменьшение возможно лишь конечное число раз. Следовательно, через конечное число итераций алгоритма произойдёт увеличениеi и возможно j, что возможно только конечное число раз. Тем самым конечность алгоритма установлена.

Алгоритм 2 .3 является доказательством следующей теоремы.

Теорема 2.8. Матрица A из может быть приведена к эрмитовой форме только элементарными преобразованиями со строками (или только со столбцами).

2. Единственность эрмитовой формы.

Рассмотрим вопрос о единственности эрмитовой формы. Для ответа на этот вопрос достаточно ограничится рассмотрением только квадратных невырожденных матриц. Пусть J - некоторое множество номеров столбцов матрицы A. Обозначим через наибольший общий делитель миноров матрицыA, расположенных в её столбцах с номерами из J (рассматриваются только те миноры матрицы A, которые содержат все столбцы с номерами из J). Если все указанные миноры равны 0, то положим . Так же как и ранее (см. Лемма 2 .2), можно показать, что элементарные преобразования строк матрицы не меняют величину.

Лемма 2.3. Пусть A=PB, где P - унимодулярная матрица, тогда для любого множества номеров столбцов J справедливо равенство .

Доказательство достаточно провести для случая, когда матрица P является матрицей элементарных преобразований (Теорема 2 .4). Единственное элементарное преобразование, представляющее интерес, состоит в прибавлении к s-ой строке j-ой строки, умноженной на целое число. В этом случае все миноры i-го порядка матрицы B либо равны соответствующим минорам матрицы A, либо являются их комбинацией с целочисленными коэффициентами. В обоих случаях минор i-го порядка матрицы B, расположенный в столбцах с номерами из J делится без остатка на , а значит,делится набез остатка. МатрицаA получается из матрицы B вычитанием s-ой строки из j-ой строки, умноженной на то же самое число. Рассуждая аналогично, выводим факт делимости без остатка на, что возможно только в случае равенства.

Пусть матрица B является эрмитовой формой матрицы A. В этом случае , приk=1,…,n. Таким образом, диагональные элементы эрмитовой формы однозначно определяются через элементы матрицы A по формулам и, гдеk=2,…,n.

Допустим, для матрицы A существует две различные эрмитовы формы B и C. Тогда существуют унимодулярные матрицы P и T, что A=PB=TC. Отсюда находим . Положим. МатрицыB и C треугольные, их главные диагонали совпадают, элементы стоящие в j-ом столбце - неотрицательны и меньше диагонального элемента и, соответственно. Кроме того,B=HC. Первая строка матрицы B является линейной комбинацией строк матрицы C. Учитывая ограничения на элементы матриц B и C, приходим к выводу, что первые строки этих матриц совпадают. Аналогично показывается равенство остальных строк. Тем самым установлена следующая теорема.

Теорема 2.9. Для матрицы из существует единственная эрмитова форма.