5. Эквивалентное определение решётки.

У каждой решётки есть базис ( Теорема 1 .1), который является линейно независимой системой векторов в пространстве V над полем R, причём . Это свойство можно взять за определение решётки.

Определение 1.6. Пусть система векторов в пространствеV над полем R линейно независима. Множество точек называется решёткой.

Определение 1 .2 решётки эквивалентно приведённому определению. Поскольку является абелевой группой, то для доказательства эквивалентности определений решёток достаточно заметить, что множество - дискретно (см. Утверждение 1 .1).

2. Гомоморфизм решёток

   1. Изоморфизм решёток

Определение 2.7. Решётки иназываются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствиемежду точками решётоки, сохраняющее операцию (то есть).

Приведённое определение изоморфизма решёток аналогично определению изоморфизма групп. Другими словами решётки изоморфны тогда и только тогда, когда они изоморфны как группы.

Теорема 2.2 (об изоморфизме). Решётка размерности n изоморфна решётке .

Доказательство. Пусть базис решётки. Любая точкаb решётки представляется единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов с целочисленными коэффициентами (). Поставим в соответствие векторуb его координаты. Указанное соответствие является взаимно однозначным, и сохраняет операцию, следовательно, оно является изоморфизмом. Тем самым теорема доказана.

Теорема 2 .2 допускает следующее обобщение

Следствие 2.1. Решётки иизоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство. Допустим, размерности решёток не равны, и они изоморфны. Для определённости, пусть размерности решёток иравныn и m (n>m), соответственно. Пусть векторы базиса решёткиизоморфны векторамрешётки. Система векторовявляется линейно зависимой, и, значит, найдутся целочисленные коэффициенты(см. Утверждение 1 .6) не все равные 0, что. В силу изоморфизма будет выполняться равенство, что противоречит линейной независимости векторов. К полученному противоречию привело предположение о существовании изоморфных решёток разной размерности.

Пусть размерности решёток исовпадают и равныn. Тогда они изоморфны ( Теорема 2 .2), а, значим и между собой.

2. Базисы решётки, матрица перехода.

Базис решётки определён неоднозначно. Естественно рассмотреть вопрос, каким свойствами должна обладать система векторов решётки, чтобы являться её базисом. Изоморфизм решёток (Теорема 2 .2) позволяет ограничиться при рассмотрении этого вопроса над решётками вида .

Система векторов ,, …,образует базис решётки. Система вектороврешёткиявляется её базисом только тогда, когда каждый из векторовпредставляется в виде линейной комбинации с целочисленными коэффициентами векторов этой системы.

Это условие является также достаточным. Представим векторы в указанном виде( где). Произвольный векторz решётки представляется в виде линейной комбинации векторов с целочисленными коэффициентами (). Следовательно, система векторовобразует порождающее множество решётки и, значит, является её базисом ( Определение 1 .6).

Обозначим через A матрицу, образованную столбцами , а черезB матрицу, с элементами . Равенствозаписывается в матричном видеE=AB. Определитель произведения матриц равен произведению определителей, поэтому, . Поскольку элементы матрицA и B суть целые числа, то их определители тоже целые числа, значит, .

Определение 2.8. Матрица, элементы которой целые числа, а определитель равен , называется унимодулярной.

В алгебре существует более общее определение унимодулярной матрицы. Матрица с элементами из кольца K называется унимодулярной, если её определитель есть обратимый элемент кольца K. В случае, когда кольцо K есть кольцо целых чисел, получаем приведённое определение унимодулярной матрицы.

Теорема 2.3. Система векторов образует базис решёткитогда и только тогда, когда матрицаA, образованная столбцами , является унимодулярной.

Доказательство. Необходимость установлена выше. Покажем достаточность. Обозначим через подматрицу матрицыA, получающуюся вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Построим матрицу B, элементы которой вычисляются по формулам (). Элементы матрицыB суть целые числа и AB=E. Последнее равенство запишем в виде (j=1,…,n). Следовательно, система векторов образует порождающее множество решётки и, значит, является её базисом ( Определение 1 .6).

Рассмотрим произвольную решётку с базисом. Отображение, ставящее в соответствие векторурешётки() векториз решётки, задает изоморфизм решёток. Система векторовобразует базис решёткитогда и только тогда, когда образы этих векторов при изоморфизме образуют базис в решётке. Образом вектора(j=1,…,n) является вектор . Обозначим черезB матрицу, столбцы которой суть координаты векторов .Система векторов- базис решёткитогда и только тогда, когда матрицаB унимодулярная.

Определение 2.9. Матрица B называется матрицей перехода от базиса к базису .

Пусть вектор x некоторая точка решётки . Обозначим черезкоординаты вектораx в базисе , а через- координаты этого же вектора в базисе. Координаты вектора в разных базисах связаны между собой по формуле.

Пусть размерность решётки совпадает с размерностью всего пространства. Величина, гдеA - матрица, образованная столбцами , не зависит от выбора базиса решётки. Это число называют определителем решёткии обозначают через.

Определитель решётки равен объёму n-мерного параллелепипеда, образованного базисными векторами. Отсюда вытекает более общее определение определителя решётки, а именно, . Отметим, что при данном определении определителя решётки не требуется совпадения размерности решётки с размерностью всего пространства.