2. Теорема Минковского

Множество точек M называется выпуклым, если с любыми двумя точками x и y оно содержит все точки отрезка их соединяющего. Другими словами, множество M называется выпуклым, если из включения вытекает, что при всехиз отрезкаимеет место включение.

Множество M называется симметричным, если вместе с точкой x оно содержит также точку -x.

Теорема 5.17 (Минковский)

Пусть M - симметричное выпуклое множество точек с объёмом V(M), - решётка размерностиn и определителем . Если для некоторого натуральногоm справедливо неравенство , илиM-ограниченное замкнутое множество и , то множествоM содержит по крайней мере m пар различных точек решётки, отличных от нуля.

Доказательство. Множество имеет объём, и, значит, найдётсяm+1 различных точек , разность которых принадлежит решёткеи отлична от нуля (Теорема 5 .15, Теорема 5 .16). Упорядочим эти точки в порядке лексикографического убывания. Точки, гдеi=1,…,m, принадлежат решётке , а так же, как середины отрезков, эти точки лежат в множествеM. Далее, все точки различны. Тем самым теорема доказана.

Следующий пример показывает, что теорема Минковского является сильнейшей в своём роде. Множество точек является симметричным и выпуклым, и имеет объём равный, но имеет толькоm-1 пар отличных от нуля точек решётки , а именно, гдеi=1,…,m-1.

3. Теоремы о близости

1М.И. Кузнецов, и др. "Компьютерная алгебра" 2002

2Кнут Д. "Искусство программирования на ЭВМ. Т2. Получисленные алгоритмы"

3Данная оценка получается при умножении "столбиком". Существуют более эффективные алгоритмы.