5. Построение эрмитовой формы.

Описанный ранее алгоритм (см. п.2.7.1) построения эрмитовой формы матрицы не является эффективным из-за возможного роста промежуточных величин. Вначале опишем эффективный алгоритм построения эрмитовой формы невырожденной матрицы. При построении этого алгоритма воспользуемся тем же приёмом, что и при построении нормальной диагональной формы Смита. То есть все вычисления будем проводить по модулю d, где d - определитель матрицы A.

Алгоритм 4.9. Эффективный алгоритм построения эрмитовой формы невырожденной матрицы.

1. Вычислим определитель d матрицы A полностью целочисленным алгоритмом Гаусса (см. Алгоритм 4 .4).

2. Положим i=1.

3. Если i=m, то конец, алгоритм работу закончил. Иначе перейдём на следующий шаг.

4. Найдём номер , при котором элемент является отличным от нуля наименьшим по абсолютной величине. Переставим строки с номерамиi и j. Перейдём на следующий шаг.

5. Из строки с номером j, где j=1,…,i-1,i+1,…,m, вычтем строку i, умноженную на число . Все операции делаем по модулюd. Перейдём на следующий шаг.

6. Если , приj=i+1,…,m, то увеличим i на 1 и вернёмся на шаг 3. В противном случае вернёмся на шаг 4.

Покажем корректность работы алгоритма. Матрица B, построенная в результате работы алгоритма, имеет те же самые диагональные элементы, что и эрмитова форма F матрицы A (Лемма 2 .3). Обозначим через P - унимодулярную матрицу, в которой накоплены все элементарные преобразования со строками матрицы A, совершаемые алгоритмом. Имеет место равенство PA=B+dC, где C - матрица с целочисленными элементами. Из этого равенства выводим . Матрица- целочисленная с определителем по абсолютной величине равным 1, то есть унимодулярная. Таким образом,B=F ( Теорема 2 .9).

Оценим трудоёмкость приведённого алгоритма. Обозначим через наибольший по абсолютной величине элемент матрицыA. Трудоёмкость первого шага алгоритма не превосходит . Третий шаг алгоритма может повториться не болееn раз. Количество повторов шагов 4-6 без изменения i не превосходит . Число арифметических операций при выполнении этих шагов не превосходити, следовательно, трудоёмкость алгоритма не превосходит.

При построении эрмитовой формы прямоугольной или вырожденной матрицы Алгоритм 4 .9 модифицируется следующим образом.

1. Применим Алгоритм 4 .5 для решения системы линейных уравнений в целых числах. В результате вычислим: r- ранг матрицы A, d - наибольший общий делитель миноров r-го порядка матрицы A, P - унимодулярная матрица, что в матрице PA последние m-r строк равны нолю.

2. Строим эрмитову форму матрицы PA (Алгоритм 4 .9 шаги 2-6).

5. Теоремы Блихфельда и Минковского.

   1. Теорема Блихфельда

Под объемом точечных множеств, если не оговорено противное, будет пониматься лебегова мера. Объём точечного множества M обозначим через V(M).

Если векторы являются базисом решётки, то параллелепипедK, натянутый на векторы (), называется фундаментальным параллелепипедом решётки. Заметим, что объём фундаментального параллелепипеда решётки, совпадает с её определителем.

Теорема 5.15 (Блихфельдт)

Пусть m - натуральное число, - решётка с определителем, аM - множество точек объёма V(M). Если V(M)>m, то найдётсяm+1 различных точек изM, что все разности содержатся в.

Доказательство. Пусть - базис решётки,K - фундаментальный параллелепипед (). Произвольную точкуx пространства V можно представить в виде суммы x=y+z, где y точка решётки , аz принадлежит K. Указанное представление однозначно. Обозначим через M(y) множество таких точек из K, что их сумма с y принадлежит M. Сумма объёмов множеств M(y) по всем векторам решётки равна объёму множества M, и, значит больше чем . Все множестваM(y) содержатся в K, поэтому, найдётся точка z, принадлежащая m+1 множествам вида M(y), скажем , гдеi=1,…,m+1. Точки , гдеi=1,…,m+1, очевидно, удовлетворяют условиям теоремы.

Точка множества называется граничной, если в её сколь угодно малой окрестности найдутся как точки, принадлежащие этому множеству, так и не принадлежащие ему. Множество точек назовём замкнутым, если оно содержит все граничные точки. Легко убедиться, что пересечение замкнутых множеств - замкнуто. Для замкнутых ограниченных множеств условия теоремы можно ослабить.

Теорема 5.16. Пусть m - натуральное число, - решётка с определителем, аM - ограниченное замкнутое множество точек объёма V(M). Если V(M)m, то найдётсяm+1 различных точек изM, что все разности содержатся в.

Доказательство. Пусть - бесконечно малая последовательность положительных чисел. Множество, где, имеет объём строго больше чем, поэтому, для каждогонайдётсяm+1 точек из, разность которых принадлежит решётке(Теорема 5 .15). Для каждогоi=1,…,m+1 последовательность точек является ограниченной, и, по теореме Вейерштрасса, в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Выделим из последовательноститакую подпоследовательность (которую обозначим теми же индексами), что все пределысуществуют. МножествоM, в силу своей замкнутости, содержит пределы этих последовательностей. Для каждого n разность принадлежит решёткеи отлична от нуля. Множество точек решётки дискретно (Определение 1 .2), следовательно, начиная с некоторого номераm, члены последовательности перестают меняться. Отсюда, предельным переходом выводим, что разностьпринадлежит решёткеи отлична от нуля.