Введение в геометрию чисел. Алгоритмы и приложения.

Примерный план книги по главам

1. Решётки, подрешётки, базис.

2. Гомоморфизм решёток, нормальная диагональная форма Смита, Эрмитова форма

3. Базисы решёток и подрешёток.

4. Эффективные алгоритмы построения базиса решёток

5. Теоремы Блихфельда и Минковского.

6. Приведение квадратичных форм

7. Элементы теории сложности алгоритмов. Эффективные алгоритмы. Способы их построения.

8. Задача нахождения точки решётки в выпуклом множестве.

9. Подсчёт числа точек решётки в выпуклом теле.

10. Другие приложения алгоритмов приведения квадратичных форм.

Список обозначений.

Z - множество целых чисел

Q - множество рациональных чисел

R - множество вещественных чисел

- декартова степень множества M, то есть множество наборов длины n, составленных из элементов множества M

- ближайшее целое число, не превосходящее

- ближайшее целое число, не меньше

- дробная часть (где).

- ближайшее целое к ().

- сравнимо с по модулюm, т.е. числа иимеют одинаковые остатки при делении наm.

- множество всех линейных комбинаций векторов с целочисленными коэффициентами.

- множество всех линейных комбинаций векторов .

- координаты вектора x в базисе .

- множество натуральных чисел

1. Решетки

   1. Дискретные множества.

Пусть V конечно мерное евклидово пространство над полем вещественных чисел R.

Определение 1.1Множество векторов M из V назовём дискретным, если для любого r существует лишь конечное число векторов x из M, удовлетворяющих неравенству .

Другими словами, множество M называется дискретным, если оно не содержит сходящихся последовательностей точек.

Примером дискретного множества может служить . Более общий пример дискретных множеств описывается в утверждении, приводимом ниже.

Утверждение 1.1. Пусть система векторов линейно не зависима. Множество всех линейных комбинаций её векторов с целочисленными коэффициентами образует дискретное множество.

Доказательство. Обозначим через P(u) n-мерный параллелепипед с вершиной и ребрами . В подпространстве система векторовявляется базисом (так как она линейно независима) и любой вектор из этого подпространства разлагается по этому базису единственным образом. Следовательно, пересечение параллелепипедов, гдеи, имеет нулевой объём. Объём параллелепипедаP(u) (от u не зависит и равен квадратному корню из определителя матрицы Грама от векторов )обозначим через . Для точкисправедливо неравенство. Количество точек изудовлетворяющих неравенствуне превосходит количество параллелепипедовP(u) ()содержащихся в шаре . Количество этих параллелепипедов оценивается сверху отношением объёмов этого шара к. Поскольку указанное отношение заведомо конечная величина, то тем самым установлена конечность числа точек из множестваудовлетворяющих неравенству, что и требовалось.

Множество точек вида , гдедискретным не является. Чтобы убедиться в этом достаточно показать, что для любогонайдутся такие не нулевые целые числаи, при которых выполняется неравенство. Положимm=. Поскольку всего пар целых чисел не сравнимых по модулю m равно , то среди пар вида, гдеt - целое число, найдутся две пары, сравнимые по модулю m. Пусть это пары и(и). Положими. Осталось заметить, что