Лекция 6

Проверка качества уравнения регрессии

Качество модели регрессии в определенной степени определяет адекватность построенной модели исходным (наблюдаемым) данным.

Рассмотрим сначала случай линейной парной регрессии.

, ;

, .

Полученные по методу наименьших квадратов оценки итем надежнее, чем меньше их разброс вокруги, то есть чем меньше дисперсиии. Надежность получаемых оценок тесно связана с дисперсией случайных отклонений.

Приведем формулы связи дисперсий коэффициентов ис дисперсиейслучайных отклонений. Для этого представим формулы определении коэффициентов в следующем виде:

.

Отсюда , так какили

, где .

Аналогично: или, где.

Так как дисперсия у постоянна и не зависит от значений переменной х, то есть , тои можно рассматривать как некоторые постоянные величины. Тогда

== =.

, так как , то.

Рассмотрим преобразования

=,

При преобразованиях воспользовались тем, что ,, то есть.

Тогда .

В силу того, что случайные отклонения по выборке определены быть не могут, они заменяются отклонениями:илизначенийот оцененной линии регрессии. Дисперсия случайных отклоненийзаменяется ее несмещенной оценкой:

Тогда имеем: ,

,

где - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Величины ,называются стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Проверка гипотез о значимости коэффициентов линейного уравнения регрессии.

Коэффициенты уравнения регрессии иявляются случайными величинами, меняющимися от выборки к выборке. Перед исследователем возникает необходимость сравнения коэффициентовис некоторыми теоретически ожидаемыми значениями этих коэффициентов. Данный анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез.

Для проверки гипотезы ,

.

Используется статистика , которая при справедливостиимеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, где k - объем выборки. Следовательно, отклоняется на основании данного критерия, если

,

где - табличное значение,- требуемый уровень значимости.

Более важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели является задача установления линейной зависимости. Эта проблема может быть решена по той же схеме: ,.

Гипотеза в такой постановке обычно называется гипотезой о статистической значимости коэффициентов регрессии. При этом если принимается, то есть основания считать, что величинау не зависит от х. В этом случае говорят, что коэффициент статистически незначим (он слишком близок к нулю). При отклонениикоэффициентсчитается статистически значимым, что указывает на наличие зависимостиу от х.

Осуществляется такая проверка следующим образом. Вычисляется величина, которая называется t – статистикой

.

Эта величина сравнивается с табличным значением . Если фактическое значение больше табличного, то гипотезуо несущественности коэффициента регрессииможно отклонить.

По аналогичной схеме на основе t – статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента :

.

Отметим, что для парной регрессии более важен анализ статистической значимости коэффициента , так как именно в нем скрыто влияниех на у.