Точечные оценки.

Как уже отмечалось, характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Пусть характеристики генеральной совокупности есть , а на основе выборки объемаk определяется оценка .

Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

1. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть .

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, так как.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, при этом или.

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия). Для нее.

2. Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками.

3. Оценка называется состоятельной, если при она стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

Можно показать, что несмещенная оценка параметраили выборочная остаточная дисперсияв модели ЛММР (3) определяется по формуле:

, где ,- объем выборки.

Для случая парной регрессии в знаменателе будет величина , а здесь .Это связано с тем, что в множественной регрессии степень свободы (а не две) теряются при определении неизвестных параметров, число которых вместе со свободным членом равно .

Еще раз подчеркнем, что – это несмещенная оценка дисперсии случайной ошибки линейного уравнения регрессии. С помощью теоремы Гаусса - Маркова доказывается эффективность оценок неизвестных параметров уравнения регрессии, полученных с помощью метода наименьших квадратов.

17