4. Оценка статистической надежности уравнения регрессии и коэффициента детерминации с помощью -критерия Фишера

F- критерий используется для оценки значимости уравнения регрессии в целом.

=462,1

F_табл(α;k1,k2)=3,59 , где α=0,05 , k1=m=2, k2=n-m-1=17

F>F_табл → модель признаётся адекватной и надёжной, т.е. зависимая переменная У (выработка продукции на одного работника) достаточно хорошо описывается включёнными в регрессионную модель переменными.

5. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента.

Критерий Стьюдента используется дл оценки значимости коэфф. регрессии.

Для этого нужно найти стандартные ошибки вычислений параметров модели.

t_табл(1-α;n-m-1)=2,1098

t1_расч> t_табл → модель адекватна и надёжна.

t2_расч< t_табл → модель не адекватна и не надёжна.

6. Доверительные интервалы для статистически значимых коэффициентов регрессии.

0,881<= β 1<=1,794

-0,11<= β 2<=0,144 β

Это значит, что статистически-значимый коэфф. регрессии β1 будет находиться в интервале от 0,881 до 1,794, а статистически-значимый коэфф. регрессии β 2 будет находиться в интервале от -0,11 до 0,144

6. Доверительные интервалы для функции регрессии.

Использование оценочной модели для прогнозирования.

Xp=

1

Xp= 5,975

21,517

9,46<=Mx(y)<=9,85

Таким образом, выработка продукции на одного работника ожидается в пределах от 9,46 до 9,85 (тыс.руб)

6. Доверительные интервалы для индивидуальных значений зависимой переменной.

8,78<=Mx(y*)<=10,53

Индивидуальные значения выработки продукции на одного работника ожидаются в пределах от 8,78 до 10,53 (тыс.руб)

Вследствие анализа мультиколлинеарности, мы решили исключить фактор Х₂.

Получили новое уравнение регрессии:

= 1,32 + 1,33 Х₁ - это однофакторная модель

Рассчитаем для неё ,,F

=0,955

=0,952

F=383,28

Сравним двухфакторной и однофакторной модели:

0,979<0,952 → двухфакторная модель лучше

Проверим выполнение предпосылок метода наименьших квадратов (для двухфакторной модели)

Остатки должны удовлетворять условиям Гаусса-Маркова.

Условия:

1. ∑ ei =0

2. Оценка гетероскедостичности.

D(ei)=const=δ²

Если D – постоянна, то это гомоскедостичность.

Если D – не постоянна, то это гетероскедостичность.

3. еi независимы между собой, т.е. в ряду остатков отсутствует существенная автокорреляция.

4. Распределение СВ ei подчиняется нормальному закону распределения.

Проверим выполнение условий Гаусса-Мркова.

1) ∑ ei = -8,88178E-15= 0 - условие выполняется

2) Оценка гетероскедостичности методом Голдфельда.

Упорядочим n наблюдений по мере возрастания переменных Х₁ и Х₂ (количество вводимых в действие новых основных фондов и удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих).

Разделим совокупности на 2 группы, и определим по каждой из групп уравнение регрессии.

y	x1		y	x2
6	3,5		6	10
6	3,6		6	12
7	3,9		7	15
7	4,1		7	17
7	4,2		7	18
8	4,5		8	19
8	5,3		8	19
9	5,3		9	20
9	5,6		9	20
10	6		10	21
10	6,3		10	21
11	6,4		11	22
11	7		11	23
12	7,5		12	25
12	7,9		12	28
13	8,2		13	30
13	8,4		13	31
14	8,6		14	31
14	9,5		14	35
15	10		15	36

Определим остаточные суммы квадратов для первой и второй регрессии.

Границы интервалов
ниж.гр.	верх.гр.
-0,8879	0,934456
		частота
-0,8879	-0,54548	1
-0,54548	-0,20306	3
-0,20306	0,139355	6
0,139355	0,481773	6
0,481773	0,82419	4
0,82419	1,166608	0

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ПЕРВОЙ ГРУППЫ Х1
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	15,02691	15,02691	112,0275	5,54646E-06
Остаток	8	1,073088	0,134136
Итого	9	16,1

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ВТОРОЙ ГРУППЫ Х1
Дисперсионный анализ
		df		SS		MS		F		Значимость F
Регрессия		1		21,13125		21,13125		123,507		3,83949E-06
Остаток		8		1,368748		0,171094
Итого		9		22,5
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ПЕРВОЙ ГРУППЫ Х2
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	1		12,77494		12,77494		30,73612		0,000544785
Остаток	8		3,325062		0,415633
Итого	9		16,1
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ВТОРОЙ ГРУППЫ Х2
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	1		21,01341		21,01341		113,0822		5,35438E-06
Остаток	8		1,486593		0,185824
Итого	9		22,5

Вычислим Fнаб.

В числителе должна быть наибольшая сумма квадратов.

Fнаб= или Fнаб=

F1наб = 1,275523

F2наб = 2,2367

Fкр(0,05;9; 9) = 3,43

F1наб < Fкр , значит модель гомоскедостична.

F2наб > Fкр , значит модель гетероскедостична.

Проверка независимости остатков (автокорреляции).

Ряд СВ называется автокоррелированным, если имеется корреляционная связь между последовательными значениями переменной в этом ряду.

Рассчитываем D-статистику.

d = == 2,8398

Найденное значение d=2,83 свидетельствует об отсутствии автокорреляции, и модель признаётся надёжной.

Условие Гаусса-Маркова выполняется.

Проверка подчинения ряда остатков нормальному закону распределения.

Используем RS – критерий.

RS = = 3,6610

a = 3,18

b = 4,49

a < RS < b

Ряд остатков подчинён нормальному закону распределения

Условие Гаусса-Маркова выполняется.

Критерий поворотных точек (предназначен для проверки случайности элементов ряда остатков)

Р – сумма поворотных точек.

Р=17

Если p> [] , то ряд остатков является случайным с вероятностью 95%

Посчитаем правую часть:

=8,47

Р > 8,47, т.е. ряд остатков является случайным.