Вся эконометрика / Вся эконометрика / эконометрика 2 тихо / эконометрика шпоры

Билет 11

1. Оценивание параметров модели методом наименьших квадратов. Теорема Гаусса – Маркова.

Оценивание эконометрической модели составляет содержание третьего этапа схемы ее построения. В результате этой процедуры отыскиваются оценки (приближенные значения) неизвестных параметров спецификации модели. Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере оценивания эконометрических моделей в виде изолированных уравнений с двумя переменными (моделей парной регрессии). Спецификация линейной эконометрической модели из изолированного уравнения с гомоскедастичными возмущениями имеет вид:

(1)

В частном случае, когда уравнение модели содержит две экономические переменные – эндогенную y_t и предопределенную x_t – модель имеет вид:

(2)

и именуется моделью линейной парной регрессии. Данная спецификация содержит три неизвестных параметра: a₀ , a₁ , σ. (3)

Пусть имеется выборка: (х₁, y₁), (х₂, y₂),… (х_n , y _n) (4)

Тогда в рамках исследуемой модели виличины связаны следующим образом:

y₁ = a₀ + a₁ * x₁ + u₁,

y₂ = a₀ + a₁ * x₂ + u₂,

…………………….. (5)

y_n = a₀ + a₁ * x _n + u _n.

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы: (6)

где (7) - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

(8) - вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t

(9) - матрица известных значений предопределенной переменной x_t модели, расширенная столбцом единиц; наконец,

а = (a₀ a₁ ) ^Т (10) – вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим: ã=(ã₀ ã₁)^Т (11)

Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным (7) и (9) при помощи некоторой процедуры, отразим: (12)

где Р(· , ·) – символ процедуры. Процедура (12) именуется линейной относительно вектора (7) значений эндогенной переменной y_t, если: (13)

где (14)

матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений (9) предопределенной переменной х_t.

Теорема Гаусса-Маркова. Пусть матрица Х коэф-тов ур-ий наблюдений (6) имеет полный ранг, а случайные возмущения (8) удовл-т четырем условиям:

E(u₁) = E(u₂) = … = E(u_n) = 0, (18)

Var(u₁) = Var(u₂) = … = Var(u_n) = σ² (19)

Cov (u_i, u_j) = 0 при i≠j (20)

Cov(x_i,u_j) = 0 при всех зн-ях i и j (21)

Тогда: а) наилучшая линейная процедура (13), приводящая к несмещенной и эффективной оценке (11), имеет вид:

(22)

б) линейная несмещенная эффективная оценка (22) обладает св-вом наименьших квадратов: (23)

в) ковариационная матрица оценки (22) вычисляется по правилу:

(24)

г) несмещенная оценка параметра σ² модели (2) нах-ся по формуле:

(25)

Следствие. Оценка ã, доставляемая процедурой (22) метода наименьших квадратов, может быть вычислена в процессе решения системы двух линейных алгебраических ур-ий:

(26)

именуемой системой нормальных ур-ий. Ее коэф-ты и свободные члены вычисляются по правилам:

[x] = x₁ + x₂ +…+ x_n,

[y] = y₁ + y₂ +…+ y_n, (27)

[x²] = x₁² + x₂² +…+ x_n²,

[xy] = x₁*y₁ + x₂*y₂ + … + x_n*y_n .

Вот явный вид решения системы (26):

2. Эконометрические модели в виде системы одновременных уравнений

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым под­черкивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. Каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может слу­жить модель динамики цены и заработной платы вида:

где у₁ – темп изменения месячной заработной платы;

у₂– темп изменения цен;

х₁ – процент безработных;

х₂ – темп изменения постоянного капитала;

х₃ – темп изменения цен на импорт сырья.

Билет 12

1. Оценивание эконометрических моделей в MS Excel и интерпретация полученных результатов.

У нас построена линейная эконометрическая модель с изолированными уравнениями.

y_t=a₀+a₁x_1t+a₂x_2t+u_t

E(u_t/x_1t;x_2t)=0

( u_t/x_1t;x_2t)=_u

x_1t; x_2t;…- экзогенные

y_t – эндогенные

T=1…n

Порядок оценивания модели состоит в следующем:

1. ввести исходных данных или открыть существующего файла, содержащего анализируемые данные;

2. выделить область пустых ячеек 5x2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область1х2 – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3. активизировать Мастер функций любым из способов:

• в главном меню выбрать Вставка/Функция;

• на панели инструментов Стандартная щелкнуть по кнопке Вставка функции;

4. в окне Категория выбрать Статистические, в окне Функция - ЛИНЕЙН. Щелкнуть ОК;

5. заполнить аргументы функции:

Известные_значения_у — диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные_значения_х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на нали­чие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения. Щелкнуть ОК

6. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем - на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

2. Построение эконометрической модели с нелинейным по коэффициентам уравнением регрессии. Эконометрическая модель Кобба – Дугласа.

Производственная функция Кобба – Дугласа имеет вид: Y=F(K,L)=a₀*K^a1*L^1-a1, a₀>0, 0<a₁<1.

Эта функция позволяет объяснить уровень совокупного выпуска Y количествами затраченного капитала K и труда L основных факторов производства.

Данная функция является нелинейной функцией по своим аргументам K и L и по своим коэффициентам a₀ и a₁. При составлении спецификации следует учесть следующие экономические законы: 1. Каждый из факторов производства необходим в том смысле, что если K=0 или L=0, то и Y=0; 2. Уровень выпуска продукции растет с ростом каждого из факторов производства; 3. Если один из факторов производства фиксирован, а другой фактор возрастает, то каждая дополнительная (предельная) единица возрастающего фактора менее полезна (с точки зрения прироста выпуска продукции),чем предыдущая единица. 4. Имеет место постоянство отдачи от масштаба, т.е если капитал и труд увеличиваются в k раз, то и выпуск продукции также возрастает в k раз.

Спецификацию эконометрической модели удобно составить так:

Для преобразования нелинейной эконометрической модели Кобба – Дугласа к линейному виду необходимо воспользоваться операцией логарифмирования. Модель Кобба – Дугласа имеет следующий вид:

В результате логарифмирования получаем следующую систему уравнений:

Преобразовав получаем:

где y_t=ln(Y_t/L_t), b₀=ln(a₀), b₁=a₁, x_t=ln(K_t/L_t), u_t= ln(1+v_t). Таким образом, y_t – это логарифм производительности труда. Теперь уравнения наблюдения объекта образуют схему Гаусса-Маркова: y(вектор)=X*b+u_t , где X – это матрица, состоящая из значений вектора x, дополненных единицами. Коэффициенты b₀ и b₁ можно оценить МНК; параметр б_u также оценивается МНК. Оценки a₀ и a₁ теперь определяются по оценкам: (~b₀,~b₁,~σ_u), а именно: a₀=exp(~b₀), ~a₁=~b₁ , ~б_v=~б_u при области определения параметра v_t=(-1;+1).

Итоги: при составлении эконометрических моделей со стандартными нелинейными по коэффициентам уравнениями регрессии следует случайные возмущения включать в модель в виде подходящего сомножителя, а затем преобразованием логарифмирования привести модель к линейной регрессии. После оценивания преобразованной модели следует вычислить оценки параметров исходной модели.

Билет 13

1. Проверка адекватности оцененной модели.

Сложность экономических процессов и явлений затрудняют проверку их адекватности, истинности получаемых результатов..

Модель именуется адекватной, если прогнозы значений эндогенной переменной согласуются с её наблюденными значениями.

В целом для проверки адекватности модели используются различные тесты, например- Коэффициент детерминации, F-тест, Тест Стьюдента, Ошибка аппроксимации, Тест Дарбина- Уотсона и тест Голфелда-Квандта.

Тест Голфелда-Квандта предназначен для проверки предпосылки теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных возмущений в уравнениях наблюдений, т.е. о том, что Var(u₁)=Var(u₂)=….=Var(u_n)=σ²

Тест Дарбина- Уотсона. Этот тест предназначен для проверки третьей Cov(u_i;u_j)=0 при i≠j. Часто истинной причиной неадекватности предпосылки оказывается ошибка в выборе уравнения регрессии в спецификации модели. Данный тест является одним из наиболее важных тестов в эконометрике.

Ошибка аппроксимации. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака ( y-ˆy_x) по каждому признаку представляет собой ошибку аппроксимации (ОА). Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, находят среднюю ОА как среднюю арифметическую простую.

или , где n-число наблюдений

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется как

гду n — число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимает­ся равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл<F_факт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²

0≤ R²≤1. причем если R²= 1 то переменная полностью объясняется регрессором x_t.

Тест Стьюдента. Отношение коэффициента регрессии к его стандартной ошибке дает t-статистику, которая подчиняется статистике Стьюдента при (n-2) степенях свободы. Эта статистика применяется для проверки статистической значимости коэффициента регерссии и для расчета его доверительного интервала.

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

2. Дисперсионный анализ в множественной регрессии.

Множественная линейная регрессионная модель имеет вид: y=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_px_p+ε

Выборочную дисперсию var(Y) в модели множественной регрессии можно представить в следующем виде:

Запишем это выражение в векторной форме

Здесь через S обозначен n-мерный единичный вектор столбец S = (1,..., 1)'. Можно показать, что если е'S = Σе_t = 0 {постоян­ный член включен в число регрессоров), то скалярное произведе­ние векторов равно нулю, и дисперсия зависи­мого переменного может быть представлена в виде суммы двух составляющих: var(Y) = TSS = ESS + RSS

Для определения качества подгонки множественной регрессионной модели к наблюденным значения Y_t, используется коэффициент детерминации R²

где у=(у₁,у₂,…,у_n)' – n- мерный вектор столбец центрированных значений зависимой переменной

В множественной регрессионной модели добавление дополнительных регрессоров увеличивает значение коэффициента детерминации, поэтому его корректируют с учетом числа независимых переменных:

здесь в числителе дроби несмещенная оценка дисперсии ошибок, в знаменателе - несмещенная оценка дисперсии Y

Билет 14

1. Исследование качества спецификации линейной эконометрической модели. Коэффициент детерминации. F – тест. Тест Стьюдента. Ошибка аппроксимации.

Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации моледи, т.е. формулировки вида модели исходя из соответствующей теории связи между переменными. После того как модель построена проводится исследование качества спецификации данной модели. Для этого используют: F-тест, Тест Стьюдента, просчитывают коэффициент детерминации и ошибку аппроксимации.

Для оценки качества подбора функции рассчитывается коэффициент детерминации. Он характеризует долю результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

0≤ R²≤1. причем если R²= 1 то переменная y_t полностью объясняется регрессором x_t.

В множественной регрессионной модели добавление дополнительных регрессоров увеличивает значение коэффициента детерминации, поэтому его корректируют с учетом числа независимых переменных:

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется как

гду n — число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень значимости а - вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна.

Если F_табл<F_факт, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Тест Стьюдента. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравнивают с его стандартной ошибкой, т.е. определяют фактическое значение t-критерия Стьюдента

где m_b – стандартная ошибка параметра ,

где S остаточная дисперсия на одну степень свободы

Данный критерий затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2). Этот же результат можно получить после извлечения корня из F-критерия, т.е. t_b=√F. Аналогично для параметра а.

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

Данная формула свидетельствует о том, что в парной линейной регрессии t²_r=F. Кроме того t²_b=F, следовательно, t²_r= t²_b. Таким образом проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о значимости линейного уравнения регрессии.

Ошибка аппроксимации. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака (y-ŷ_x) по каждому признаку представляет собой ошибку аппроксимации (ОА). В отдельных случаях ОА может =0. Отклонения (y-ŷ_x) несравнимы между собой, следовательно используются величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям. Т.к. (y-ŷ_x) может быть полож. или отр., следовательно ОА принято определять в % по модулю. Отклонение (y-ŷ_x) можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а

- как относительную ошибку аппроксимации. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, находят среднюю ОА как среднюю арифметическую простую.

или , где n-число наблюдений

2. Симптомы, причины и последствия явления мультиколлинеарности. Устранение мультиколлинеарности

Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно по следующим причинам:

• затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

• оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний, что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования

Решению проблемы устранения мультиколлинеарности факторов может помочь и переход к уравнениям приведенной формы. С этой целью в уравнение регрессии производится подстановка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения.

Метод главных компонент применяется для исключения или уменьшения мультиколлинеарности объясняющих переменных регрессии. Основная идея заключается в сокращении числа объясняющих переменных до наиболее существенно влияющих факторов. Это достигается путем линейного преобразования всех объясняющих переменных xi (i=0,..,n) в новые переменные, так называемые главные компоненты. При этом требуется, чтобы выделению первой главной компоненты соответствовал максимум общей дисперсии всех объясняющих переменных xi (i=0,..,n). Второй компоненте — максимум оставшейся дисперсии, после того как влияние первой главной компоненты исключается и т. д.