Расчеты, выполненные для степенной модели.

,

Приводим к линейному виду:ln= lna+b•lnx. Производим замену:ln= z , ln a=c, ln x=t, z=c+bt

b= , c=

b=0,6145, c=2,1662, z=2,1662+0,6145·t

ln y = 2,1662+0,6145·ln x

= 8,7251•(x^(0,61))

Индекс корреляции:

=0,662

Сила связи заметная.

F-критерий:

F==17,5349

Ошибка аппроксимации:

=1/n •∑ ׀(y_i- y_т)/y_i ׀ •100%, =0,0473•100%=4,7%

Модель является точной

Коэффициент эластичности:

Э==0,6145

Расчеты, выполненные для показательной модели.

,

Приводим к линейному виду.

ln=lna•, ln=lna+x ln b

Производим замену:

ln=z , ln a=c, ln b=d, z=c+dx

d=, c=

d= 0,00659952, c= 4,33049657, z=4,33049657+0,00659952x

=, =е^4,33049657•e^{(0,00659952)^x}

Индекс корреляции:

= 0,81872531, Сила связи высокая.

F-критерий:

F==20,3316283

Ошибка аппроксимации:

=1/n •∑ ׀(y_i- y_т)/y_i ׀ •100%, = 0,04586123•100%= 4,5%

Модель является точной

Коэфф. эластичности: Э== 0,57250843

Расчеты, выполненные для равносторонней гиперболы.

=a+

Произведем замену:

, =a+bw, b=, a=, b=-7743,59071, а= 226,336462, =(-7743,59071)+226,336462,10/x

Индекс корреляции:

=0,81395595

Сила связи высокая.

F-критерий:

F== 19,6317625

Ошибка аппроксимации:

=1/n •∑ ׀(y_i- y_т)/y_i ׀ •100%, = 0,047462265•100%= 4,7% Модель является удовлетворительной

Коэфф. эластичности: Э= 0,65120909

Постановка задачи

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов(% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих(%)

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их. Проверить наличие мультиколлинеарности.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации.

5. С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6. Доверительные интервалы для статистически значимых коэффициентов регрессии.

7. Доверительные интервалы для функции регрессии.

8. Доверительные интервалы для индивидуальных значений зависимой переменной.

Решение и анализ

1. Построение линейной модели множественной регрессии. Запись стандартизованного уравнения множественной регрессии. Ранжирование факторов по степени их влияния на результат на основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности.

, ,

y=XB+e,

1 X₁₁ X₁₂ . . . X_1m

X= 1 X₂₁ X₂₂ . . . X_2m

……………………

1 X_n1 X_n2 . . . X_nm n·x(m+1)

B=(x^Tx)^-1 · x^Ty

1 1 …. 1 1……X_1m n ….

(x^Tx)= X₁₁ X₁₂ . . . X_n1 · 1……X_2m = ….

X_1m ……..X_nm 1…….X_nm …

20 125,8 453 0,570 -0,025 -0,015

x^Tx = 125,8 868,9 3120,5 (x^Tx)^-1= -0,025 0,286 -0,078

453 3120,5 11251 -0,015 -0,078 0,022

x^Ty= =

Таким образом,

В=

Линейная модель множественной регрессии выглядит следующим образом:

= 1,31976 + 1,338086 Х₁ + 0,016056 Х₂

Рассмотрим стандартизованные коэффициенты регрессии и средние коэффициенты эластичности.

Коэффициент эластичности.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько % в среднем изменяется признак-результат У с увеличением фактора Х_j на 1% от своего среднего уровня, при фиксированном положении других факторов модели.

Экономически это означает, что при увеличении количества вводимых в действие новых основных фондов на 1%, и при неизменном удельном весе рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих, выработка продукции на одного работника возрастает на 0,83%.

При увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1%, и при неизменном количестве вводимых в действие новых основных фондов, выработка продукции на одного работника возрастает на 0,03%.

Таким образом, фактор - количество вводимых в действие новых основных фондов сильнее всего влияет на выработку продукции на одного работника.

Стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэфф.)

Стандартизованные β-коэффициенты показывают, на какую часть своего среднего квадратного отклонения изменится признак-результат У, с увеличением соответствующего фактора Х_j на величину своего среднего квадратного отклонения , при неизменном влиянии прочих факторов модели. Используется для ранжирования факторов по силе влияния на результат. Чем больше β_j, тем сильнее влияние.

, =,=,==2,773085

===1,971015

===7,037578

Подставляем найденные значения в формулу

=0,951066, =0,040748

Экономически это означает, что при увеличении количества вводимых в действие новых основных фондов на величину своего среднего кв. отклонения = 1,971015, и при неизменном влиянии удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих, выработка продукции на одного работника изменится на 0,951066 своего среднего кв. отклонения = 2,773085.

При увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на величину своего среднего кв. отклонения = 7,037578, и при неизменном влиянии вводимых в действие новых основных фондов, выработка продукции на одного работника изменится на 0,040748 своего среднего кв. отклонения = 2,773085. >→ фактор-количество вводимых в действие новых основных фондов сильнее всего влияет на выработку продукции на одного работника.

Запишем уравнение регрессии в стандартном масштабе переменных:

, =0,951066+0,040748

2. Нахождение коэффициентов парной, частной и множественной корреляции. Их анализ. Проверка наличия мультиколлинеарности. Нахождение коэффициентов парной корреляции

,

=0,9908

=0,9702

=0,9773

Таким образом, получаем матрицу коэффициентов парной корреляции:

	y	x1	x2
y	1	0,99089	0,970239
x1	0,99089	1	0,977315
x2	0,970239	0,977315	1

Нахождение коэффициентов частной корреляции

Частные коэфф. корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соотв. фактором, при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включённых в уравнение регрессии.

,

> , следовательно фактор Х₁ (количество вводимых в действие новых основных фондов) оказывает большее влияние на результирующий фактор (выработку продукции на одного работника)

Нахождение коэффициентов множественной корреляции

Δ коэфф. характеризуют вклад каждого фактора в суммарное влияние на результирующий показатель при условии независимости фактора.

Вычислим Δ коэффициенты:

,

Таким образом, фактор Х₁ (количество вводимых в действие новых основных фондов) оказывает большее влияние на результирующий фактор (выработку продукции на одного работника).

, ,

Мультиколлинеарность – нестрогая линейная зависимость между факторными признаками.

Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадёжнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе определитель матрицы межфакторной корреляции к 1, тем меньше мультиколлинеарность факторов и надёжнее результаты множественной регрессии.

Рассмотрим матрицу коэфф. парной корреляции:

	y	x1	x2
y	1	0,99089	0,970239
x1	0,99089	1	0,977315
x2	0,970239	0,977315	1

где рассчитывается по формуле

Определитель матрицы межфакторной корреляции r₁₁=0,044, следовательно, мультиколлинеарность присутствует, что свидетельствует о ненадёжности модели.

r₁₂ =0,977 > 0,7 , что так же свидетельствует о том, что факторы мультиколлинеарны.

Из модели следует исключить один из факторов.

О том, какой фактор исключить из модели при мультиколлинеарности, мы судим по:

1) матрице коэфф. парной корреляции

2) β-коэфф.

3) коэфф. эластичности

> → следует исключить фактор Х₂ (удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих)

β₁ > β₂ → следует исключить фактор Х₂ (удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих)

>→ следует исключить фактор Х₂ (удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих)

Исключаем фактор Х₂ , и получаем новое уравнение регрессии:

= 1,32 + 1,33 Х₁

3. Нахождение скорректированного коэффициента множественной детерминации. Сравнивание его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

Коэффициент детерминации.

, =0,9819

Свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной У (выработка продукции на одного работника) на 98% объясняется изменчивостью включённых в модель объясняющих переменных – количество вводимых в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих(%)

Скорректированный коэффициент детерминации.

, ,≈, т.к. число объясняющих переменныхm мало (=2)

Оценка статистической надежности уравнения регрессии и коэффициента детерминации с помощью-критерия Фишера

F- критерий используется для оценки значимости уравнения регрессии в целом.

,=462,1,F_табл(α;k1,k2)=3,59 , где α=0,05 , k1=m=2, k2=n-m-1=17

F>F_табл → модель признаётся адекватной и надёжной, т.е. зависимая переменная У (выработка продукции на одного работника) достаточно хорошо описывается включёнными в регрессионную модель переменными.

5. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента.

Критерий Стьюдента используется дл оценки значимости коэфф. регрессии.

Для этого нужно найти стандартные ошибки вычислений параметров модели.

, ,,

, ,,

t_табл(1-α;n-m-1)=2,1098

t1_расч> t_табл → модель адекватна и надёжна.

t2_расч< t_табл → модель не адекватна и не надёжна.

6. Доверительные интервалы для статистически значимых коэффициентов регрессии.

,0,881<= β 1<=1,794

,-0,11<= β 2<=0,144 β

Это значит, что статистически-значимый коэфф. регрессии β1 будет находиться в интервале от 0,881 до 1,794, а статистически-значимый коэфф. регрессии β 2 будет находиться в интервале от -0,11 до 0,144

6. Доверительные интервалы для функции регрессии.

Использование оценочной модели для прогнозирования.

,,Xp=

1

Xp= 5,975

21,517

,,

9,46<=Mx(y)<=9,85

Таким образом, выработка продукции на одного работника ожидается в пределах от 9,46 до 9,85 (тыс.руб)

6. Доверительные интервалы для индивидуальных значений зависимой переменной.

,

8,78<=Mx(y*)<=10,53

Индивидуальные значения выработки продукции на одного работника ожидаются в пределах от 8,78 до 10,53 (тыс.руб)

Вследствие анализа мультиколлинеарности, мы решили исключить фактор Х₂.

Получили новое уравнение регрессии:

= 1,32 + 1,33 Х₁ - это однофакторная модель

Рассчитаем для неё ,,F

=0,955, =0,952,F=383,28. Сравним двухфакторной и однофакторной модели:0,979<0,952 → двухфакторная модель лучше

Проверим выполнение предпосылок метода наименьших квадратов (для двухфакторной модели)

Остатки должны удовлетворять условиям Гаусса-Маркова.

Условия:

1. ∑ ei =0

2. Оценка гетероскедостичности.

D(ei)=const=δ²

Если D – постоянна, то это гомоскедостичность.

Если D – не постоянна, то это гетероскедостичность.

3. еi независимы между собой, т.е. в ряду остатков отсутствует существенная автокорреляция.

4. Распределение СВ ei подчиняется нормальному закону распределения.

Проверим выполнение условий Гаусса-Мркова.

1) ∑ ei = -8,88178E-15= 0 - условие выполняется

2) Оценка гетероскедостичности методом Голдфельда.

Упорядочим n наблюдений по мере возрастания переменных Х₁ и Х₂ (количество вводимых в действие новых основных фондов и удельный вес рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих).

Разделим совокупности на 2 группы, и определим по каждой из групп уравнение регрессии.

Вычислим Fнаб.

В числителе должна быть наибольшая сумма квадратов.

Fнаб= илиFнаб=

F1наб = 1,275523, F2наб = 2,2367

Fкр(0,05;9; 9) = 3,43, F1наб < Fкр , значит модель гомоскедостична. F2наб > Fкр , значит модель гетероскедостична.

Проверка независимости остатков (автокорреляции). Ряд СВ называется автокоррелированным, если имеется корреляционная связь между последовательными значениями переменной в этом ряду. Рассчитываем D-статистику.

d = == 2,8398

Найденное значение d=2,83 свидетельствует об отсутствии автокорреляции, и модель признаётся надёжной.

Условие Гаусса-Маркова выполняется.

Проверка подчинения ряда остатков нормальному закону распределения.

Используем RS – критерий.

RS = = 3,6610, a = 3,18, b = 4,49, a < RS < b

Ряд остатков подчинён нормальному закону распределения.Условие Гаусса-Маркова выполняется.Критерий поворотных точек (предназначен для проверки случайности элементов ряда остатков) Р – сумма поворотных точек. Р=17

Если p> [] , то ряд остатков является случайным с вероятностью 95%

Посчитаем правую часть:

=8,47

Р > 8,47, т.е. ряд остатков является случайным.

Приложения

Приложение 1.

Таблица значений F-критерия Фишера (двусторонний)

d.f.2= = n - k - 1) степени свободы остаточной дисперсии	степени свободы факторной дисперсии – d.f.1 = k
	k=1			k=2			k=3			k=4
	Уровень значимости, α
	0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01
1	39,9	161,5	4052	49,5	199,5	5000	53,6	215,72	5403	55,8	224,57	5625
2	8,5	18,5	98,5	9,0	19,0	99,00	9,2	19,16	99,2	19,2	19,25	99,30
3	5,54	10,13	34,1	5,46	9,6	30,82	5,39	9,28	29,5	5,34	9,12	28,71
4	4,54	7,71	21,2	4,32	6,9	18,00	4,19	6,59	16,7	4,11	6,39	15,98
5	4,06	6,61	16,3	3,78	5,79	13,27	3,62	5,41	12,1	3,52	5,19	11,39
6	3,78	5,99	13,8	3,46	5,14	10,92	3,29	4,76	9,8	3,18	4,53	9,15
7	3,59	5,59	12,3	3,26	4,74	9,55	3,07	4,35	8,5	2,96	4,12	7,85
8	3,46	5,32	11,3	3,11	4,46	8,65	2,92	4,07	7,6	2,81	3,84	7,01
9	3,36	5,12	10,6	3,01	4,26	8,02	2,81	3,86	7,0	2,69	3,63	6,42
10	3,29	4,96	10,0	2,92	4,10	7,56	2,73	3,71	6,6	2,61	3,48	5,99
11	3,23	4,84	9,7	2,86	3,98	7,20	2,66	3,59	6,2	2,54	3,36	5,67
12	3,18	4,75	9,3	2,81	3,88	6,93	2,61	3,49	6,0	2,48	3,26	5,41
13	3,14	4,67	9,1	2,76	3,80	6,70	2,56	3,41	5,7	2,43	3,18	5,20
14	3,10	4,60	8,9	2,73	3,74	6,51	2,52	3,34	5,6	2,39	3,11	5,03
15	3,07	4,54	8,7	2,70	3,68	6,36	2,49	3,29	5,4	2,36	3,06	4,89
16	3,05	4,49	8,5	2,67	3,63	6,23	2,46	3,24	5,3	2,33	3,01	4,77
17	3,03	4,45	8,4	2,64	3,59	6,11	2,44	3,20	5,2	2,31	2,96	4,67
18	3,01	4,41	8,3	2,62	3,55	6,01	2,42	3,16	5,1	2,29	2,93	4,58
19	2,99	4,38	8,2	2,61	3,52	5,93	2,40	3,13	5,0	2,27	2,90	4,50
20	2,97	4,35	7,9	2,59	3,49	5,72	2,38	3,10	4,9	2,25	2,87	4,31
21	…	4,32	8,0	…	3,47	5,78	…	3,07	4,9	…	2,84	4,37
22	2,95	4,30	7,9	2,56	3,44	5,72	2,35	3,05	4,8	2,22	2,82	4,31
23	…	4,28	7,9	…	3,42	5,66	…	3,03	4,8	…	2,80	4,26
24	2,93	4,26	7,8	2,54	3,40	5,61	2,33	3,01	4,7	2,19	2,78	4,22
25	…	4,24	7,8	…	3,38	5,57	…	2,99	4,7	…	2,76	4,18
26	2,91	4,22	7,7	25,2	3,37	5,53	2,31	2,98	4,6	2,17	2,73	4,14
30	2,88	4,17	7,56	2,49	3,32	5,39	2,28	2,92	4,5	2,14	2,69	4,02
40	2,84	4,08	7,31	2,44	3,23	5,18	2,23	2,84	4,3	2,09	2,61	3,83
60	2,79	4,00	7,08	2,39	3,15	4,98	2,18	2,76	4,1	2,04	2,53	3,65
80	2,77	8,96	6,96	2,37	3,11	4,88	2,16	2,72	4,0	2,02	2,48	3,56
100	2,76	3,94	6,90	2,36	3,09	4,82	2,14	2,70	3,98	2,00	2,46	3,51
∞	2,71	3,84	6,63	2,30	3,00	4,61	2,08	2,60	3,78	1,94	2,37	3,32

Приложение 2

Таблица критических значений t-статистики Стьюдента

Число степеней свободы, d.f.=n-k-1	Уровень значимости, α (двусторонний)
	0,40	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
1	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
2	1,06	1,39	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93
3	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
4	0,94	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
5	0,92	1,16	1,48	2,02	2,57	3,37	4,03
6	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
7	0,90	1,12	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50
8	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
9	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
10	0,88	1,09	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17
11	0,88	1,09	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11
12	0,87	1,08	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06
13	0,87	1,08	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01
14	0,87	1,08	1,35	1,76	2,15	2,62	3,00
15	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
16	0,87	1,07	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
17	0,86	1,07	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90
18	0,86	1,07	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88
19	0,86	1,07	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86
20	0,86	1,06	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85
21	0,86	1,06	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83
22	0,86	1,06	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82
23	0,86	1,06	1,32	1,71	2,07	2,50	2,81
24	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80
25	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79
26	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,48	2,78
27	0,86	1,06	1,31	1,70	2,05	2,47	2,77
28	0,86	1,06	1,31	1,70	2,05	2,47	2,63
29	0,85	1,06	1,31	1,70	2,05	2,46	2,76
30	0,85	1,06	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75
40	0,85	1,05	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70
60	0,85	1,05	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66
120	0,85	1,04	1,30	1,66	1,98	2,36	2,62
∞	0,84	1,036	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58

Приложение 3.