Решение и анализ

1. Корреляционная зависимость между фактором х (среднедушевым прожиточным минимумом в день одного трудоспособного) и результирующим признаком у (среднедневной заработной платой). Параметры уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация коэффициента регрессии.

y=f(x)+E ,y_т=f(x) – теоретическая функция, Е=у- y_т

y_т=a+bx – корреляционная зависимость среднедневной заработной платы (у) от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного (х)

a+b=

a+b=

b= - коэффициент регрессии.

Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется средняя заработная плата (У) при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного (Х) на 1 единицу.

b== 0,937837482

Это означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного (х) на 1 единицу, среднедневная заработная плата увеличится в среднем на 0,937 единиц.

a=-b, a=135,4166667-0,937837482•86,75=54,05926511

3) Коэффициент вариации

Коэффициент вариации показывает, какую долю среднего значения СВ составляет её средний разброс.

υ_х = δх/x = 0,144982838, υ_y = δy/y = 0,105751299

4) Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции используется для оценки тесноты линейной связи между среднедушевым прожиточным минимумом в день одного трудоспособного и среднедневной заработной платой.

rxy = b• δх/δy = 0,823674909 т.к. rxy ˃0 , то корреляционная связь между переменными называется прямой

Всё это показывает зависимость среднедневной заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного.

5) Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации используется для оценки качества подбора уравнений линейной регрессии.

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака У (среднедневной заработной платы), объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака.

R²_xy = ( ∑(y_т - y_ср)² ) / ( ∑(y - y_ср)² ) = 0,678440355, 0,5 < R² < 0,7 ,

значит сила связи заметная, близка к высокой, и уравнение регрессии хорошо подобрано.

6) Оценка точности модели, или оценка аппроксимации.

=1/n •∑ ׀(y_i- y_т)/y_i ׀ •100% - средняя ошибка аппроксимации.

Ошибка менее 5-7% свидетельствует о хорошем подборе модели.

При ошибке более 10% следует подумать о выборе другого типа уравнения модели.

Ошибка аппроксимации =0,015379395•100%=1,53% , что свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным

7) Схема дисперсионного анализа.

∑(y - y_ср)²=∑(y_т - y_ср)²+∑(y_i- y_т)² n – число наблюдений, m – число параметров при переменной х

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая	∑(y - yср)2	n-1	S2общ=(∑(y - yср)2)/(n-1)
Факторная	∑(yт - yср)2	m=1	S2факт=(∑(yт - yср)2)/m
Остаточная	∑(yi- yт)2	n-m-1	S2ост=(∑(yi- yт)2)/ ( n-m-1)

Дисперсионный анализ
Компоненты	Сумма квадратов	Число степени свободы	Дисперсия
общая	2460,916667	11	223,719697
факторная	1669,585177	1	1669,585177
остаточная	791,3314895	10	79,13314895

8) Проверка адекватности модели по F-критерию Фишера (α=0,05).

Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью F-критерия Фишера.

H₀ – гипотеза о статистической значимости уравнения регрессии.

H₁ – статистическая значимость уравнения регрессии.

F_{расчетное} определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

F_расч = S²_факт / S²_ост = ((∑(y_т - y_ср)²)/m) / ((∑(y_i- y_т)²)/ ( n-m-1)) =1669,585177 / 79,13314895 = 21,09842966

F_{табличное} - максимально возможное значение критерия, которое могло сформироваться под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы, т.е. К₁ = m, К₂ = n-m-1, и уровне значимости α (α=0,05)

F_табл (0,05; 1; n-2) , F_табл (0,05; 1; 10), F_табл = 4,964602701

Если F_табл < F_расч , то гипотеза H₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется, и признаётся их статистическая значимость и надёжность уравнения регрессии. В противном случае H₀ не отклоняется, и признаётся статистическая незначимость и ненадёжность уравнения регрессии. В нашем случае F_табл < F_расч , следовательно признаётся статистическая значимость и надёжность уравнения регрессии.

9) Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции по t-критерию Стьюдента (α=0,05).

Оценка значимости коэфф. регрессии.,t – критерий Student., Проверим статистическую значимость параметра b.

Гипотеза H₀: b=0, t_{b (расч)}= ׀b ׀/ m_b, m_b = S_ост / (δ_х•) , где n – число наблюдений

m_b = 79,13314895 / (12,57726123•) = 0,204174979

t_{b (расч)}= 0,937837482 / 0,204174979 = 4,593302697

t_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы (К=n-2), и уровне значимости α (α=0,05). t_табл = 2,2281, Если t_(расч) > t_{табл ,} тогда гипотеза H₀ отклоняется, и признаётся значимость параметров уравнения.

В нашем случае t_{b (расч)} > t_{табл ,} следовательно гипотеза H₀ отклоняется, и признаётся статистическая значимость параметрa b .

Проверим статистическую значимость параметра a. Гипотеза H₀: a=0 t_{а (расч)}= ׀а ׀/ m_а

m_а = (S_ост •)/(n• δ_х) , m_a = (79,13314895•)/(12• 12,57726123)= 17,89736655, t_{a (расч)}= 54,05926511 / 17,89736655=3,020515055

t_{a (расч)} > t_табл следовательно гипотеза H₀ отклоняется, и признаётся статистическая значимость параметрa a.

Оценка значимости корреляции. Проверим статистическую значимость коэффициента корреляции.

trxy = ׀r׀/mr

mrxy = , mrxy = =0,179320842, trxy = 0,823674909/ 0,179320842 = 4,593302697

tr = t_{b ,} tr > t_табл , следовательно признаётся статистическая значимость коэффициента корреляции.