15. Проверить выполнение предпосылок мнк.
15.1. Математическое ожидание остатков равно нулю.
|
сумма |
1,78E-16 |
15.2. Дисперсия остатков постоянна
Для оценки на гомо- гетероскедастичность остаточной дисперсии воспользуемся методом Голдфельда-Квандта:
15.2.1.
Упорядочим n
наблюдений по мере возрастания количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
|
xотсорт |
Y |
|
0,07 |
8,4 |
|
0,09 |
7,2 |
|
0,13 |
7 |
|
0,16 |
9,3 |
|
0,17 |
8,9 |
|
0,2 |
6,9 |
|
0,2 |
8,2 |
|
0,21 |
7,6 |
|
0,21 |
7,6 |
|
0,21 |
7,4 |
|
0,25 |
10,7 |
|
0,28 |
7,6 |
|
0,3 |
9 |
|
0,3 |
11 |
|
0,32 |
9,7 |
|
0,33 |
12,1 |
|
0,37 |
8,6 |
|
0,37 |
13,5 |
|
0,39 |
12,1 |
|
0,4 |
13,1 |
|
0,42 |
12,5 |
|
0,43 |
9,9 |
|
0,43 |
8,4 |
|
0,45 |
7,2 |
|
0,47 |
10,5 |
|
0,52 |
7,5 |
|
0,56 |
9,6 |
|
0,56 |
13,2 |
|
0,59 |
8,4 |
|
0,69 |
8,5 |
|
0,7 |
8,9 |
|
0,72 |
11,5 |
|
0,73 |
9,7 |
|
0,73 |
13,1 |
|
0,76 |
10,8 |
|
0,81 |
10,2 |
|
0,82 |
9,7 |
|
0,84 |
8,7 |
|
0,95 |
7,6 |
|
0,99 |
8,7 |
15.2.2. Разделим совокупность на две группы.
|
xотсорт |
Y |
|
0,07 |
8,4 |
|
0,09 |
7,2 |
|
0,13 |
7 |
|
0,16 |
9,3 |
|
0,17 |
8,9 |
|
0,2 |
6,9 |
|
0,2 |
8,2 |
|
0,21 |
7,6 |
|
0,21 |
7,6 |
|
0,21 |
7,4 |
|
0,25 |
10,7 |
|
0,28 |
7,6 |
|
0,3 |
9 |
|
0,3 |
11 |
|
0,32 |
9,7 |
|
0,33 |
12,1 |
|
0,37 |
8,6 |
|
0,37 |
13,5 |
|
0,39 |
12,1 |
|
0,4 |
13,1 |
|
xотсорт |
Y |
|
0,42 |
12,5 |
|
0,43 |
9,9 |
|
0,43 |
8,4 |
|
0,45 |
7,2 |
|
0,47 |
10,5 |
|
0,52 |
7,5 |
|
0,56 |
9,6 |
|
0,56 |
13,2 |
|
0,59 |
8,4 |
|
0,69 |
8,5 |
|
0,7 |
8,9 |
|
0,72 |
11,5 |
|
0,73 |
9,7 |
|
0,73 |
13,1 |
|
0,76 |
10,8 |
|
0,81 |
10,2 |
|
0,82 |
9,7 |
|
0,84 |
8,7 |
|
0,95 |
7,6 |
|
0,99 |
8,7 |
15.2.3. Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии и для второй по формуле:
|
S1yt |
74,78393 |
|
S2yt |
63,8831 |
15.2.4.Вычисляем соотношение
|
Fнабл |
1,170637 |
15.2.5. Рассчет критического значения F
|
Fкритич |
2,137009 |
Так
как
, то имеет место дисперсия гомоскедастична,
что означает надежности линейной модели
регрессии.
15.3. В ряду остатков отсутствует существенная автокорреляция.
Ряд случайных величин называется автокоррелированным, если имеется корреляционная связь между последовательными значениями переменной в этом ряду.
Для проверки автокорреляции воспользуемся критерием Дарвина-Уотсона.
Рассчитаем d-статистику:
|
d-stat |
2,038675 |
Воспользуемся «схемой критерия». Так, как 2,038675> 2, то уровень ряда остатков признается независимым.
15.4. Распределение остатков подчинено нормальному закону.
ННГУ им. Лобачевского
Отчет по лабораторной работе №2
по предмету эконометрика
«Нелинейная регрессия».
Работу выполнила
студентка 725гр.
Зотагина Анастасия
2011г
Модели разделяют на два класса нелинейности:
- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняемых переменных, но линейные по оцениваемому параметру
- нелинейные по оцениваемому параметру
-
Степенная модель
-
Параметры уравнения степенной регрессии
y
=
Необходимо линеаризовать модель (привести к линейному виду):
Произведем замену:
|
z=ln(y) |
t=ln(x) |
|
0,986772 |
-0,49485 |
|
0,924279 |
-0,22915 |
|
0,954243 |
-0,52288 |
|
0,995635 |
-0,36653 |
|
0,934498 |
-0,4318 |
|
1,09691 |
-0,37675 |
|
0,880814 |
-0,67778 |
|
0,838849 |
-0,69897 |
|
1,130334 |
-0,4318 |
|
0,986772 |
-0,13668 |
|
1,029384 |
-0,60206 |
|
1,082785 |
-0,40894 |
|
0,986772 |
-0,08619 |
|
0,845098 |
-0,88606 |
|
0,857332 |
-1,04576 |
|
0,913814 |
-0,69897 |
|
0,924279 |
-0,36653 |
|
1,117271 |
-0,13668 |
|
0,939519 |
-0,00436 |
|
1,0086 |
-0,09151 |
|
1,033424 |
-0,11919 |
|
0,968483 |
-0,79588 |
|
0,880814 |
-0,67778 |
|
1,082785 |
-0,48149 |
|
0,857332 |
-0,34679 |
|
0,982271 |
-0,25181 |
|
0,924279 |
-1,1549 |
|
1,041393 |
-0,52288 |
|
1,021189 |
-0,3279 |
|
0,869232 |
-0,67778 |
|
0,94939 |
-0,76955 |
|
0,880814 |
-0,02228 |
|
0,929419 |
-0,16115 |
|
0,875061 |
-0,284 |
|
0,94939 |
-0,1549 |
|
0,939519 |
-0,07572 |
|
1,060698 |
-0,14267 |
|
1,120574 |
-0,25181 |
|
1,117271 |
-0,39794 |
|
0,880814 |
-0,55284 |
|
b |
0,104436 |
|
c |
1,013982 |
1.2. Степенная модель регрессии
Найдя параметры b и c, составим уравнение в линейном виде, выполнив его потенцирование, получим степенную модель.
|
y_тер |
|
9,168568 |
|
9,773508 |
|
9,106978 |
|
9,455895 |
|
9,308644 |
|
9,432686 |
|
8,773986 |
|
8,729392 |
|
9,308644 |
|
9,993274 |
|
8,935213 |
|
9,359963 |
|
10,11535 |
|
8,345365 |
|
8,030947 |
|
8,729392 |
|
9,455895 |
|
9,993274 |
|
10,31635 |
|
10,1024 |
|
10,03539 |
|
8,528311 |
|
8,773986 |
|
9,198081 |
|
9,500898 |
|
9,720387 |
|
7,822906 |
|
9,106978 |
|
9,544143 |
|
8,773986 |
|
8,582479 |
|
10,27201 |
|
9,934633 |
|
9,645445 |
|
9,949574 |
|
10,14084 |
|
9,978889 |
|
9,720387 |
|
9,384745 |
|
9,041595 |
1.3. Коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации используется для оценки качества подбора уравнения степенной регрессии.
Коэффициент
детерминации характеризует долю
дисперсии урожайности
зерновых культур (ц/га)
,
объясняемую регрессией в общей дисперсии
урожайности
зерновых культур (ц/га)
.
|
R^2 |
|
0,090425 |
Воспользуемся
шкалой оценки силы связи между переменными
в зависимости от
.
Так как
, то сила связи между
количеством
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
и урожайностью
зерновых культур (ц/га)
у
является слабой. Необходимо произвести
спецификацию модели и подобрать другое
уравнение регрессии.
Значит уравнение регрессии объясняется 9% дисперсии среднедневной заработной платы, руб. (у) на долю прочих факторов, приходящихся на 81%.
1.4. Адекватность модели по F-критерию Фишера (α=0,05).
Оценка
статистической значимости уравнения
регрессии в целом осуществляется с
помощью F-критерия
Фишера, которая заключается в проверке
гипотезы
о
статистической незначимости уравнения
регрессии.
|
Fрассч |
|
3,77777 |
1.5. Оценка точности модели.
А – ошибка аппроксимации.
|
Аппроксимация |
|
15,30052 |
Ошибка
, что свидетельствует о неудовлетворительной
подборке модели к исходным данным.
1.6. Коэффициент эластичности.
Коэффициент
эластичности показывает на сколько
процентов в среднем по совокупности
изменится урожайность
зерновых культур (ц/га)
от своей средней величины при изменении
количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
В
общем случае:
Для
степенной регрессии:
|
Э |
|
0,104436 |
При
изменении количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
на
1% урожайность
зерновых культур (ц/га)
изменится
на 0,104436%.
1.7. Построим точечный график по исходным данным.
-
Показательная модель
-
Параметры уравнения показательной регрессии
-
y
=
Необходимо линеаризовать модель (привести к линейному виду):
Произведем замену:
|
z=ln(y) |
|
2,272126 |
|
2,128232 |
|
2,197225 |
|
2,292535 |
|
2,151762 |
|
2,525729 |
|
2,028148 |
|
1,931521 |
|
2,60269 |
|
2,272126 |
|
2,370244 |
|
2,493205 |
|
2,272126 |
|
1,94591 |
|
1,974081 |
|
2,104134 |
|
2,128232 |
|
2,572612 |
|
2,163323 |
|
2,322388 |
|
2,379546 |
|
2,230014 |
|
2,028148 |
|
2,493205 |
|
1,974081 |
|
2,261763 |
|
2,128232 |
|
2,397895 |
|
2,351375 |
|
2,00148 |
|
2,186051 |
|
2,028148 |
|
2,140066 |
|
2,014903 |
|
2,186051 |
|
2,163323 |
|
2,442347 |
|
2,580217 |
|
2,572612 |
|
2,028148 |
|
d |
0,185434 |
|
c |
2,149351 |
2.2. Показательная модель регрессии
Найдя параметры d и c, составим уравнение в линейном виде, выполнив его потенцирование, получим степенную модель.
|
yтеор |
|
9,103781539 |
|
9,571184199 |
|
9,07008114 |
|
9,291384483 |
|
9,188581375 |
|
9,274171104 |
|
8,919966498 |
|
8,903441215 |
|
9,188581375 |
|
9,822912187 |
|
8,986374922 |
|
9,222722069 |
|
9,988222554 |
|
8,78861828 |
|
8,723671259 |
|
8,903441215 |
|
9,291384483 |
|
9,822912187 |
|
10,30810374 |
|
9,969718201 |
|
9,877709387 |
|
8,837645663 |
|
8,919966498 |
|
9,120678666 |
|
9,325907147 |
|
9,518087466 |
|
8,691377952 |
|
9,07008114 |
|
9,360558083 |
|
8,919966498 |
|
8,854048827 |
|
10,23192788 |
|
9,750321835 |
|
9,447749739 |
|
9,768418977 |
|
10,02533436 |
|
9,80471409 |
|
9,518087466 |
|
9,239839956 |
|
9,036505492 |
2.3. Коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации используется для оценки качества подбора уравнения степенной регрессии.
Коэффициент
детерминации характеризует долю
дисперсии урожайности
зерновых культур (ц/га)
,
объясняемую регрессией в общей дисперсии
урожайности
зерновых культур (ц/га)
.
|
R^2 |
|
0,031855 |
Воспользуемся
шкалой оценки силы связи между переменными
в зависимости от
.
Так как
, то сила связи между
количеством
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
и урожайностью
зерновых культур (ц/га)
у
является слабой. Необходимо произвести
спецификацию модели и подобрать другое
уравнение регрессии.
Значит уравнение регрессии объясняется 3% дисперсии среднедневной заработной платы, руб. (у) на долю прочих факторов, приходящихся на 97%.
2.4. Адекватность модели по F-критерию Фишера (α=0,05).
Оценка
статистической значимости уравнения
регрессии в целом осуществляется с
помощью F-критерия
Фишера, которая заключается в проверке
гипотезы
о
статистической незначимости уравнения
регрессии.
|
Fрассч |
|
1,250306 |
2.5. Оценка точности модели.
А – ошибка аппроксимации.
|
аппроксимация |
|
16,41601 |
Ошибка
, что свидетельствует о неудовлетворительной
подборке модели к исходным данным.
2.6. Коэффициент эластичности.
Коэффициент
эластичности показывает на сколько
процентов в среднем по совокупности
изменится урожайность
зерновых культур (ц/га)
от своей средней величины при изменении
количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
В
общем случае:
Для
показательной регрессии:
|
эластичность |
|
0,026 |
При
изменении количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
на
1% урожайность
зерновых культур (ц/га)
изменится
на 0,026%.
2.7. Построим точечный график по исходным данным.
3. Равносторонняя гипербола
3.1.Параметры уравнения показательной регрессии
Необходимо линеаризовать модель (привести к линейному виду):
Произведем замену:
Тогда:
|
w=1/x |
|
3,125 |
|
1,694915 |
|
3,333333 |
|
2,325581 |
|
2,702703 |
|
2,380952 |
|
4,761905 |
|
5 |
|
2,702703 |
|
1,369863 |
|
4 |
|
2,564103 |
|
1,219512 |
|
7,692308 |
|
11,11111 |
|
5 |
|
2,325581 |
|
1,369863 |
|
1,010101 |
|
1,234568 |
|
1,315789 |
|
6,25 |
|
4,761905 |
|
3,030303 |
|
2,222222 |
|
1,785714 |
|
14,28571 |
|
3,333333 |
|
2,12766 |
|
4,761905 |
|
5,882353 |
|
1,052632 |
|
1,449275 |
|
1,923077 |
|
1,428571 |
|
1,190476 |
|
1,388889 |
|
1,785714 |
|
2,5 |
|
3,571429 |
|
b |
-0,24867 |
|
a |
10,33916 |
-
Равносторонняя гипербола
Найдя параметры a и b, составим уравнение в линейном виде.
|
yтеор |
|
9,562055 |
|
9,917679 |
|
9,510248 |
|
9,760849 |
|
9,667069 |
|
9,74708 |
|
9,155 |
|
9,095792 |
|
9,667069 |
|
9,998511 |
|
9,344465 |
|
9,701535 |
|
10,0359 |
|
8,426285 |
|
7,576119 |
|
9,095792 |
|
9,760849 |
|
9,998511 |
|
10,08797 |
|
10,03216 |
|
10,01196 |
|
8,784949 |
|
9,155 |
|
9,585604 |
|
9,786552 |
|
9,8951 |
|
6,786678 |
|
9,510248 |
|
9,810067 |
|
9,155 |
|
8,876374 |
|
10,0774 |
|
9,978764 |
|
9,860942 |
|
9,983912 |
|
10,04312 |
|
9,99378 |
|
9,8951 |
|
9,717476 |
|
9,45104 |
3.3. Коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации используется для оценки качества подбора уравнения степенной регрессии.
Коэффициент
детерминации характеризует долю
дисперсии урожайности
зерновых культур (ц/га)
,
объясняемую регрессией в общей дисперсии
урожайности
зерновых культур (ц/га)
.
|
R^2 |
|
0,12387 |
Воспользуемся
шкалой оценки силы связи между переменными
в зависимости от
.
Так как
, то сила связи между
количеством
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
и урожайностью
зерновых культур (ц/га)
у
является слабой. Необходимо произвести
спецификацию модели и подобрать другое
уравнение регрессии.
Значит уравнение регрессии объясняется 12% дисперсии среднедневной заработной платы, руб. (у) на долю прочих факторов, приходящихся на 78%.
3.4. Адекватность модели по F-критерию Фишера (α=0,05).
Оценка
статистической значимости уравнения
регрессии в целом осуществляется с
помощью F-критерия
Фишера, которая заключается в проверке
гипотезы
о
статистической незначимости уравнения
регрессии.
|
Fрассч |
|
5,372552 |
3.5. Оценка точности модели.
А – ошибка аппроксимации.
|
аппроксимация |
|
15,71198 |
Ошибка
, что свидетельствует о неудовлетворительной
подборке модели к исходным данным.
3.6. Коэффициент эластичности.
Коэффициент
эластичности показывает на сколько
процентов в среднем по совокупности
изменится урожайность
зерновых культур (ц/га)
от своей средней величины при изменении
количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
В
общем случае:
Для
равносторонней гиперболы:
|
эластичность |
|
0,01655 |
При
изменении количества
удобрений, расходуемых на гектар(т/га)
на
1% урожайность
зерновых культур (ц/га)
изменится
на 0,01655%.
Вывод. Общая таблица.
|
|
Fрассч |
Апроксимация |
R |
|
линейная |
1,774867434 |
16,16790586 |
0,211241 |
|
степенная |
3,777769612 |
15,3005248 |
0,300708 |
|
показательная |
1,250306113 |
16,41600863 |
0,178479 |
|
равносторонняя гипербола |
5,372551578 |
15,71197762 |
0,351951 |
В сравнении, лучше всего, нашу задачу описывает модель регрессии равносторонняя гипербола, так как в ней максимален коэффициент детерминации и Fрассч. Но с учетом того, что ошибка аппроксимации очень велика, а коэффициент детерминации очень мал, ни одна из моделей не может адекватно описать эту задачу, возможно из-за того, что объясняющая переменная слабо связана с оцениваемым результирующим параметром, или из-за нехватки факторов (принято, что число факторов относится к объему выборки как 1 к 6). Поэтому в дальнейшем рассмотрим эту задачу с помощью множественного регрессионного анализа, добавив к исследованию еще несколько факторов.