Глава 5. Метод суперпозиции

5.1. Краткий обзор главы

• В Главах 3 и 4 описан “непосредственный” подход к расчету отклика системы на гармоническое воздействие и к анализу динамических переходных процессов. В случае линейных систем для этих целей может эффективно использоваться метод суперпозиции форм (мод)колебаний.

• В этой Главе рассматривается концепция метода и демонстрируется его применение для анализа гармонического воздействия и динамического переходного процесса.

Метод суперпозиции представляет собой подход, используемый для определения динамического отклика линейных систем. Используется в программе ANSYS как альтернатива методу прямого решения для следующих видов анализа:

• анализ переходных процессов (ANTYPE, TRANS);

• отклик на гармоническое воздействие (ANTYPE, HARMIC).

5.1.1. Прямое интегрирование при переходном анализе

• Уравнения решаются для дискретных моментов времени.

• Допускается частичное изменение перемещений и скоростей.

• Все уравнения решаются одновременно, т.е. они являются зависимыми.

• Доступ осуществляется командами TRNOPT,FULL или TRNOPT, REDUC.

В программе ANSYS используется схема прямого интегрирования Ньюмарка.

5.1.2. Прямое решение при гармоническом анализе

• Все уравнения решаются одновременно, т.е. они являются зависимыми.

• Используются команды HROPT, FULL или HROPT, REDUC.

5.1.3. Краткий обзор метода суперпозиции

Метод суперпозиции предполагает, что основные неизвестные, т.е. перемещения, могут быть получены комбинацией (суперпозицией) собственных векторов (мод), умноженных на соответствующие масштабные коэффициенты.

Поскольку собственные векторы доступны, проблема заключается в отыскании значений масштабных коэффициентов.

Вектор перемещений общего вида {u(t)} рассматривается как сумма произведений масштабных коэффициентов (относительных смещений для i-той собственной формы) y_i(t) и собственных векторов {_i}:

{u(t)} = y₁(t) {₁} + y₂(t) {₂} + . . . + y_p(t) {_p}.

Каждый вектор имеет n компонент (n равно числу ведущих степеней свободы), а число слагаемых p n.

Удобно ввести матрицу собственных векторов

[] = [{₁} {₂} {₃} . . . {_p}],

где {_i} - собственный вектор порядка n* l с номером i.

Таким образом,

{u_i(t)} = [] {y_i(t)}

n * l n * p n * l

Матрица [] имеет следующие специальные свойства:

[]^T [M] [] = [I]

p * n n * n n * p p * p

[]^T [К] [] = [²]

p * n n * n n * p p * p

где [²] =

Матрица демпфирования строится с использованием представления об эффективном коэффициенте демпфирования (доли критического затухания) для каждой формы колебаний _i, а именно:

[_i]^T [C] [_j] = 2 _{i i}, i = j;

[_i]^T [C] [_j] = 0, i j.

Если демпфирование учитывается, то эффективный коэффициент демпфирования вычисляется следующим образом:

_i = / 2_i + _i / 2 + + _mi.

После замены в уравнении равновесия

[M] {u’’(t)} + [C] {u’(t)} + [K] {u(t)} = {F(t)} (*)

вектора перемещений введенным ранее выражением

{u (t)} = [] {y(t)}

и умножения (*) слева на матрицу []^T получается уравнение

[]^T [M] []{y’’(t)}+ []^T [C] [] {y’(t)}+[]^T [K] [] {y(t)} = []^T {F(t)}. (**)

С учетом приведенных выше соотношений для матриц [M], [K], [C] и выражения для вектора возмущающих сил

{f(t)}=[]^T {F(t)}

из (**) следует p независимых (или несвязанных) уравнений:

y_i’’(t) + 2 _{i i} y_i’(t) + _i² y_i(t) = f_i(t), i = 1, 2, . . . p.

Каждое уравнение представляет собой уравнение движения упругой системы с учетом сопротивления при жесткости _i², единичной массе и коэффициенте сопротивления демпфирования _i. Уравнение может быть решено с помощью подходящего прямого метода (как в случае анализа переходных процессов или гармонического отклика). Полученное решение уравнения называется откликом для i-той собственной формы колебаний. Полное решение в геометрических координатах {u(t)} представляет собой сумму откликов для каждой формы, т.е. является разложением формы колебаний системы по собственным формам:

{u(t)} = {₁} y₁(t) + {₂} y₂(t) + . . . + {_p} y_p(t) .