Глава 2. Модальный анализ

2.1. Краткий обзор главы

• В начале главы рассматриваются теоретические основы модального анализа.

• Описывается последовательность действий, требующихся для создания вводного файла.

• В заключение в качестве упражнения приведен пример.

2.2. Что такое модальный анализ?

Модальный анализ (ANTYPE, МОDAL) используется для определения собственных частот и форм колебаний линейной упругой системы.

После расчета собственных частот и форм колебаний можно выполнить суперпозицию форм колебаний или спектральный анализ. Эти виды расчетов, а также модальный анализ предварительно нагруженных систем будут рассмотрены в следующих главах.

2.2.1. Предположения и ограничения

• Отсутствует затухание.*

• Матрицы [M] и [K] постоянны.

• Колебания предполагаются свободными, т.е. отсутствуют нагрузки, такие как силы, ненулевые перемещения, давления, температуры.

_____________________________________________________________

Но нагрузки в виде ускорения, давления и температуры, если предполагается их использование далее в анализе режима суперпозиции, необходимо задавать здесь.

2.2.2. Теоретические основы

Разрешающее уравнение для свободных, без затухания, колебаний записывается следующим образом:

[M] {u’’} + [K] {u} = {0}.

Как указывалось ранее, для линейной системы перемещения являются гармоническими функциями:

{u} = {u₀} cos t.

Заменой {u} и {u’’} разрешающее уравнение приводится к виду:

(-² [M] + [K]) {u₀} = {0} (А)

Для существования нетривиальных решений ({u₀} 0) детерминант [ [K] - ² [M] ] должен быть равен нулю:

[K] - 2 [M]

= 0.

Если n - порядок матрицы, решением уравнения является полином n- го порядка, который имеет n корней: ₁², ₂², . . . , _n².

Эти корни являются собственными значениями уравнения. Подстановка корней в уравнение (А) позволяет найти n соответствующих векторов {u₀}: {u₁}, {u₂}, ... ,{u_n}. Они известны как собственные векторы.

В модальном анализе собственные значения представляют собой квадраты собственных круговых частот (величина _i является i-той собственной круговой частотой), а собственные векторы - соответствующие формы колебаний. Для ясности вместо {u_i} для обозначения i-той формы будем использовать {_i}.

В принципе, вычисление собственных значений означает нахождение корней полинома n - го порядка. Следовательно, требуется итеративное решение задачи, кроме самых тривиальных случаев.

Для вычисления собственных значений доступны четыре метода, которые задаются с помощью команды MODOPT:

• метод редукции (приведения) Хаусхолдера (MODOPT, REDUC);

• итеративный подпространственный метод(MODOPT, SUBSP);

• метод для несимметричных матриц (MODOPT, UNSYM);

• метод для систем с затуханием (MODOPT, DAMP).

Все эти методы описаны непосредственно в этой Главе или в руководстве Теория.

2.2.3. Метод редукции

Метод редукции (приведения) Хаусхолдера рекомендуется использовать для основных приложений. Редуцирование матриц рассмотрено в Главе 6.