1.6. Виды динамического анализа

Существуют три вида динамического анализа:

• модальный анализ (ANTYPE,MODAL);

• динамический анализ переходных процессов (ANTYPE,TRANS);

• отклик на гармоническое воздействие (ANTYPE, HARMIC).

Все эти виды анализа являются частными случаями решения общего уравнения движения:

[M] {u’’} + [C] {u’} + [K] {u} = {F(t)}.

1.6.1. Модальный анализ

Модальный анализ (команда ANTYPE, MODAL) используется для определения собственных частот и форм колебаний конструкции. Предполагается, что совершаются свободные незатухающие колебания, т.е.

{F (t)} = {0} и [C] = [0].

Модальный анализ обычно предшествует другим видам динамического анализа. Как будет показано далее, результаты модального анализа дают возможность определить некоторые параметры и соотношения, необходимые для других видов анализа.

Разрешающее уравнение имеет вид

[M] {u’’} + [K] {u} = {0}.

Для линейной системы свободные колебания будут гармоническими:

{u} = {u₀} cos t.

Замена {u} и {u’’}в разрешающем уравнении приводит к соотношению

(-² [M] + [K]) {u₀} = {0}.

Для существования нетривиальных решений детерминант [[K] - [M]] должен быть равен нулю, т.е.

[K] - [M]

= 0

,

где = ².

Это задача о собственных значениях, которая заключается в нахожении значения _j и соответствующего ему вектора {u_j}. Собственное значение _j определяет собственную частоту системы _j = _j, а собственный вектор - соответствующую форму колебаний.

1.6.2. Динамический анализ переходных процессов

Динамический анализ переходных процессов (команда ANTYPE, TRANS) используется для получения отклика системы на воздействие меняющейся во времени, или нестационарной, вынуждающей нагрузки.

Разрешающее уравнение равновесия имеет следующий вид:

[M] {u’’} + [C] {u’} + [K] {u} = {F(t)}.

В своей наиболее общей форме этот вид анализа допускает использование всех типов нелинейностей. Другими словами, не предполагается наличие каких-либо ограничений.

1.6.3. Отклик на гармоническое воздействие

Анализ отклика на гармоническое воздействие (команда ANTYPE, HARMIC) используется для определения поведения системы при действии гармонической (синусоидальной) вынуждающей силы, т.е. при F(t) в виде периодической нагрузки с известной амплитудой и частотой.

F(t)

t

Для линейных и нелинейных задач динамики переходных процессов решение общего уравнения движения состоит в определении перемещений как функций времени. Вынуждающая сила {F} также является произвольной функцией времени, {F (t)}.

При анализе отклика на гармоническое воздействие вынуждающая нагрузка предполагается гармонической, т.е. меняющейся синусоидально силой известной амплитуды и частоты. Следовательно, уравнение движения может быть решено относительно перемещений как функций частоты. Если система линейна, то перемещение u также меняется синусоидально с такой же частотой, как и сила, но не обязательно совпадает по фазе.

В данном случае уравнение равновесия принимает следующий вид:

[M] {u’’} + [C] {u’} + [K] {u} = {F_max eⁱ} e^it ,

где F_max - амплитуда силы;

i - -1 ;

t - время;

- фазовый угол функции нагружения, радиан;

= 2f - заданная круговая частота, радиан / время;

f - заданная частота, число колебаний / время.

Комплексное выражение для силы F можно представить в виде двух слагаемых:

{F} = {F_max eⁱ} e^it ={F_max (cos + i sin) } e^it =

= ({F₁} + i{F₂}) e^it,

где {F₁} = {F_max cos} - вектор вещественных составляющих силы;

{F₂} = {F_max sin} - вектор мнимых составляющих силы.

Следует отметить, что заданные круговая частота , амплитуда F_max и фазовый угол вынуждающей функции нагружения известны.

Как уже говорилось, все точки системы предполагаются движущимися по синусоидальному закону с одной и той же частотой, но не обязательно в одной фазе. Таким образом, вектор перемещения u может быть записан в виде

{u} = {u_max eⁱ} e^it = ({u₁} + i{u₂}) e^it,

где {u₁} = {u_max cos } - вектор вещественной части перемещения;

{u₂} = {u_max sin } - вектор мнимой части перемещения.

Обратите внимание: круговая частота для вектора перемещения известна (такая же, как у вектора силы), в то время как амплитуда u_max и фазовый угол неизвестны.

Заменим в уравнении равновесия вектор перемещения {u} и его производные, а также вектор силы {F} их слагаемыми, получим:

(-² [M] + i [C] + [K]) ({u₁} + i{u₂}) e^it= ({F₁} + i{F₂}) e^it,

или

(-² [M] + i [C] + [K]) ({u₁} + i{u₂}) = ({F₁} + i{F₂}).

Итак, решение будет комплексным, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. [C] [0] (существует матрица сопротивления);

2. {u} {0} (мнимая часть заданных перемещений отлична от нуля);

3. {F₂} {0} (мнимая часть сил отлична от нуля).