Глава 1. Теоретические основы
1.1. Краткий обзор главы
В этой главе дается определение динамики. Затем определяются матрицы сопротивления (демпфирования) и масс. В заключение кратко обсуждена теория трех типов динамического анализа:
модальный анализ;
динамический анализ переходных процессов;
отклик на гармоническое воздействие.
1.2. Что такое динамика?
Динамика занимается изучением поведения конструкций под действием меняющихся во времени нагрузок. Примерами таких нагрузок являются:
периодически действующие силы, вызванные вращением механизмов;
подвижные нагрузки на мосты и эстакады;
внезапно приложенные силы (например, взрывные нагрузки);
силы, вызванные землетрясением.
Динамика также включает изучение свободных колебаний, т.е. колебаний конструкции после удаления или прекращения изменения силы, которая является причиной движения.
Рассмотрим представленную ниже систему с одной степенью свободы. Уравнение статического равновесия для системы имеет вид:
[K] {u} = {F},
где [K] - матрица жесткости системы (известна);
{u} - вектор перемещения (неизвестен);
{F} - вектор нагрузки (известен).
Ku
K
M
+u F
F
Это уравнение, однако, является особым случаем общего статического уравнения равновесия для произвольной системы: векторная сумма всех приложенных сил равна нулю, f = 0. Общий динамический случай иллюстрируется показанной ниже одномассовой системой, состоящей из массы на пружине при наличии неупругого сопротивления:
F
F
Разрешающая система уравнений имеет вид
[M] {u’’} + [C] {u’} + [K] {u} = {F},
где [M] - матрица масс системы;
[C] - матрица сопротивлений;
[K] - матрица жесткости;
{F} - функция нагрузки, зависящая от времени;
{u} - вектор узловых перемещений;
{u’} - вектор узловых скоростей;
{u’’} - вектор узловых ускорений.
Структура матриц для конечно-элементной системы приводится ниже.
1.3. Матрица жесткости [k]
Матрица жесткости определяется выражением
=
,
где NE - число элементов;
- матрицы жесткости отдельных элементов.
1.4. Матрица масс [m]
Матрица масс системы определяется соотношением
=
,
где [Mei] - матрицы масс отдельных элементов.
В программе ANSYS матрица масс элемента может представлять собой согласованную матрицу, матрицу сосредоточенных масс или редуцированную (приведенную) матрицу.
Согласованная матрица масс элемента вычисляется с использованием функций формы элемента. Эти функции формы такие же, как и те, что используются при вычислении матрицы жесткости, т.е. являются согласованными.
|
UX1 |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
0 |
|
|
UY1 |
0 |
x |
x |
0 |
x |
x |
|
|
ROTZ1 |
0 |
x |
x |
0 |
x |
x |
|
|
UX2 |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
0 |
|
|
UY2 |
0 |
x |
x |
0 |
x |
x |
|
|
ROTZ2 |
0 |
x |
x |
0 |
x |
x |
|
B матрице сосредоточенных масс масса каждого элемента распределена (не обязательно одинаково) по его узлам. Другими словами, сосредоточенные массы, размещенные в узлах элемента, в совокупности представляют массу элемента. Поэтому матрица сосредоточенных масс является диагональной, т.е. все элементы матрицы, кроме диагональных, равны нулю. Сумма “узловых” масс в каждом направлении равны общей массе элемента. (Это оценивается с помощью команды LUMPM, ON).
|
UX1 |
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
UY1 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
ROTZ1 |
0 |
0 |
x |
0 |
0 |
0 |
|
UX2 |
0 |
0 |
0 |
x |
0 |
0 |
|
UY2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x |
0 |
|
ROTZ2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x |
_________________________________________________________
Опции сосредоточенной массы, в основном, устанавливаются из основного меню следующим путем:
Main Menu Path: Solution Analysis Type Analysis Options
Некоторые элементы генерируют только сосредоточенные массовые матрицы, например, COMBIN37, COMBIN39, COMBIN40.
Опция сосредоточенной массовой матрицы недоступна для FLUID38.
Ряд конечных элементы программы ANSYS (например, BEAM44, PIPE59, SHELL63) имеют опцию KEYOPT, позволяющую использовать редуцированную матрицу масс элемента. Эта матрица образуется удалением из согласованной матрицы тех ее элементов, которые относятся к вращательным степеням свободы.
|
UX1 |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
0 |
|
UY1 |
0 |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
|
ROTZ1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
UX2 |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
0 |
|
UY2 |
0 |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
|
ROTZ2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
______________________________________________________
Опции этих элементов могут быть установлены из основного меню:
Main Menu: Preprocessor Element Type Add/Edit/Delete
Следуйте за кнопкой OPTION.
Большинство конечных элементов программы ANSYS используют по умолчанию согласованную матрицу масс. В общем случае рекомендуется использовать матрицу масс, заданную по умолчанию, за исключением следующих случаев:
если объект расчета имеет относительно малый размер в одном (или двух) направлениях по сравнению с остальными размерами (например, тонкие балки или очень тонкие оболочки), то следует использовать опцию редуцированной матрицы масс (если доступна) или опцию матрицы сосредоточенных масс;
для некоторых задач распространения волн полезным оказывается использование матрицы сосредоточенных масс.