6.5. Пример

Рассматривается простая упругая система из трех масс, показанная ниже. Расчет собственных частот в направлении оси Х выполняется с использованием редуцирования матриц и без. Узлы 1 и 4 зафиксированы, степени свободы относятся к узлам 2 и 3.

Матрицы жесткости и масс системы:

		k1 + k2 -k2				2 -1
[K] =				=
		-k2 k2 + k3				-1 2

		m2 0				2 0
[M] =				=
		0 m3				0 1

Cобственные круговые частоты являются корнями уравнения (см. Главу 1)

[K] - ² [M] = 0,

где[K] - ² [M] представляет собой детерминант матрицы [ [K] - ² [M] ].

Решение без редуцирования матриц:

Подставив матрицы [K] и [M] в уравнение частот, получим:

		2 -1				2 0
				-2					= 0,
		-1 2				0 1

откуда следует уравнение 2⁴- 6 ⁶ + 3 = 0,

таким образом, = 0.796, 1.538 с^-1.

Решение с редуцированием матриц:

Используя метод Гуяня, удалим степени свободы с меньшей массой, получим: число мастер-степеней m = 1

число подчиненных степеней s = 1

Блочные матрицы имеют вид:

[M_mm] = m₂ = 2 [K_mm] = k₁ + k₂ = 2

[M_ss] = m₃ = 1 [K_ss] = k₂ + k₃ = 2

[M_ms] = [M_sm] = 0 [K_ms] = [K_sm] = - k₂ = -1

[ T ] =

[ Im x m] - [Kss]-1 [Ksm]

=

1 0.5

После вычисления матрицы T получаются следующие редуцированные матрицы:

[K] = [ T ] ^T [K] [ T ] = [1.5],

[M] = [ T ] ^T [M] [ T ] = [2.25].

Подставляя эти значения в уравнение [K] - ² [M] = 0, получим:

1.5 - 2.25 ² = 0,

= 0.816 с^-1.

Погрешность расчета в этом простом примере составляет 2.51 %. Однако следует заметить, что была нарушена одна из рекомендаций по выбору ВСС: число мастер-степеней должно вдвое превышать число интересующих форм колебаний.

Обращает на себя внимание тот факт, что масса системы не сохранилась, она уменьшилась с 3.0 до 2.25. Это случается обычно всегда, так как часть массы приходится на точки с предписанными перемещениями, а не только на ведущие степени свободы (см. замечания, относящиеся к команде OUTPR, NSOL - Глава 2).

_______________________________________________________________________

9

Matrix Reduction