Глава 4. Гармонический анализ

4.1. Краткий обзор главы

В этой главе дается определение и теоретическое обоснование гармонического анализа. Затем обсуждаются вопросы демпфирования колебаний и задания нагрузок. В заключение рассматривается пример выполнения анализа.

4.2. Определение гармонического анализа

Гармонический анализ системы (ANTYPE, HARM) представляет собой вид динамического расчета, в котором приложенные нагрузки меняются по синусоидальному закону с известными амплитудой и частотой. Полученное при этих нагрузках решение является установившимся откликом системы, зависящим от частоты. Сдвигом по фазе могут быть заданы несколько вынуждающих нагрузок.

Ограничения при гармоническом анализе сводятся к следующему:

l. Все нагрузки подчиняются синусоидальному закону.

2. Все нагрузки изменяются с одинаковой частотой.

3. Нелинейности не допускаются.

4. Нестационарные эффекты нагружения не учитываются.

Доступны три метода анализа:

полный гармонический анализ (HROPT, FULL);

редуцированный гармонический анализ (HROPT, REDUC);

гармонический анализ методом суперпозиции (HROPT, MSUP).

В этой главе обсуждаются полный и редуцированный методы. Метод суперпозиции рассматривается в главе 5.

4.3. Сравнение трех методов гармонического анализа

	FULL	REDUC	MSUP
Относительная скорость решения	Высокая	Очень высокая	Самая высокая
Нагрузки на элементы (давление, температура и т.п.)	Разрешены	Не разрешены	Разрешены
Число одновременно приложенных к элементу нагрузок (давление и температура)	Без ограничений	0	1
Ведущие степени свободы	Не требуются	Требуются	Требуются
Модальное демпфирование	Нет	Нет	Нет
Число шагов решения	1	2	3
Выбор мод колебаний	Не обязателен	Не обязателен	Необходим
Наличие несимметричных матриц	Допускается	Допускается	Не
Возможность рестарта	Есть	Есть	Нет
Предварительное нагружение	Не допускается	Допускается	Допускается
Задание ненулевых перемещений	Возможно	Возможно	Невозможно

Рассмотрим редуцированный метод гармонического анализа. Обратимся вновь к используемым предположениям и ограничениям:

• Раздельное определение перемещений и расширение решения.

• Коэффициенты матриц [M], [C] и [K] постоянны. Нелинейности, например, пластичность материала, не учитываются.

• Нельзя использовать такие компоненты вектора нагружения элемента, как давление, сила тяжести или тепловые нагрузки; допускается только задание сил в узлах с ведущими степенями свободы.

Отличные от нуля перемещения могут быть приложены только к ведущим степеням свободы.

4.4. Теория метода редукции

Разрешающее уравнение для гармонического анализа методом редукции имеет следующий вид:

[ M] (u’’) + [G] (u’) + [K] {u] = {F (t)}.

Символ используется для обозначения редуцированных матриц. Как уже упоминалось, вынуждающее усилие {F (t)} описывается синусоидой с известной амплитудой {F _max}, частотой и фазой т.е.

{F (t)}= {F _max eⁱ}e^it.

Для линейной системы перемещения также меняются синусоидально с той же самой частотой:

{u (t)}= {u _max eⁱ}e^it ,

что приводит к следующему уравнению:

( – ² [M] + i [C] + [K]) ^. ({u₁} + i({u₂})= {F₁} + i{F₂}, где

{u₁} = {u _max cos} - вещественная часть вектора перемещений;

{u₂} = {u _max sin} - мнимая часть вектора перемещений;

{F₁} = {F _max cos} - вещественная часть вектора нагрузок;

{F₂} = {F _max sin} - мнимая часть вектора нагрузок.

Так как матрицы [M], [C] и [K] предполагаются постоянными, можно записать следующее соотношение:

[K^eq] ({u₁} + i({u₂}) = {F₁} + i{F₂},

или {u₁} + i({u₂} = [K^eq] ^-1 ({F₁} + i {F₂}),

где [K^eq] = ( – ² [M] + i [C] + [K]) - матрица "эквивалентной" жесткости.

Идея гармонического анализа состоит в вычислении перемещений {u₁} и {u₂} при различных значениях частоты вынуждающей силы. Перемещение для каждого значения частоты вычисляются на отдельном шаге решения.

Если [C] = [0], а заданные силы или перемещения не являются комплексными величинами, т.е. {F₂}={u₂} = 0, то в решении для перемещений отсутствуют мнимые части. Следовательно, в этом случае перемещения меняются в одной фазе с вынуждающей силой.

В общем случае решение является комплексным и может быть представлено::

• в виде вещественной и мнимой частей {u₁} и {u₂} комплексной величины;

• в показательной форме с амплитудой

u _max = (u₁² + u₂²)

и фазовым углом

= tan^-1 (u₂ / u₁).

Перемещения не совпадают по фазе (на угол ) с вынуждающей силой.