2.1.6. Со­ве­ты и ре­ко­мен­да­ции

Про­ве­де­ние не­ли­ней­но­го ана­ли­за обыч­но ока­зы­ва­ет­ся не та­ким слож­ным, ес­ли из­вест­но, что и как де­лать. Ус­во­ив не­сколь­ко ос­нов­ных прин­ци­пов, мож­но ус­пеш­но спра­вить­ся поч­ти с лю­бой не­ли­ней­ной за­да­чей.

Не то­ро­пи­тесь!

Мно­гие поль­зо­ва­те­ли ис­пы­ты­ва­ют ис­ку­ше­ние по­пы­тать­ся сде­лать слиш­ком мно­го и слиш­ком бы­ст­ро, но слиш­ком час­то по­лу­ча­ют раз­оча­ро­вы­ваю­щие ре­зуль­та­ты. Дей­ст­вуя с ра­зум­ной ос­то­рож­но­стью, мож­но из­бе­жать мно­гих труд­но­стей, со­пут­ст­вую­щих не­ли­ней­но­му ана­ли­зу. Во мно­гих слу­ча­ях мо­гут ока­зать­ся по­лез­ны­ми пе­ре­чис­лен­ные ни­же ука­за­ния и со­ве­ты.

Раз­бе­ри­тесь с про­грам­мой и кон­ст­рук­ци­ей.

Ес­ли нет опы­та вы­пол­не­ния не­ли­ней­но­го ана­ли­за, сле­ду­ет на­чать с про­стой, из не­сколь­ких эле­мен­тов, сис­те­мы и ус­во­ить осо­бен­но­сти рас­че­та.

• По­лу­чи­те пред­став­ле­ние о по­ве­де­нии слож­ной кон­ст­рук­ции на ос­но­ве ана­ли­за уп­ро­щен­ной мо­де­ли. Для не­ли­ней­ных ста­ти­че­ских мо­де­лей пред­ва­ри­тель­ный ли­ней­ный ана­лиз спо­со­бен по­ка­зать те об­лас­ти рас­чет­ной мо­де­ли, где воз­мож­ны пла­сти­че­ские де­фор­ма­ции, и на­груз­ки, пре­вы­ше­ние ко­то­рых сде­ла­ет от­клик сис­те­мы не­ли­ней­ным. Для не­ли­ней­но­го ди­на­ми­че­ско­го ана­ли­за пред­ва­ри­тель­ное уп­ро­щен­ное мо­де­ли­ро­ва­ние да­ет пред­став­ле­ние о ди­на­ми­ке сис­те­мы при ми­ни­маль­ных за­тра­тах.

• Реа­ги­руй­те на со­об­ще­ния и пре­ду­пре­ж­де­ния про­грам­мы. В лю­бом слу­чае пе­ред пост­про­цес­сор­ной об­ра­бот­кой ре­зуль­та­тов нуж­но быть уве­рен­ным в том, что схо­ди­мость дос­тиг­ну­та.

Стре­ми­тесь к ра­зум­ной про­сто­те.

• Ес­ли есть воз­мож­ность за­ме­нить трех­мер­ную мо­дель дву­мер­ной или осе­сим­мет­рич­ной, ис­поль­зуй­те ее. Ес­ли мож­но умень­шить раз­мер мо­де­ли за счет ус­ло­вий сим­мет­рии, де­лай­те это. Ес­ли мож­но опус­тить “не­ли­ней­ные под­роб­но­сти” без ущер­ба для ре­зуль­та­тов в кри­ти­че­ских зо­нах кон­ст­рук­ции, по­сту­пай­те та­ким об­ра­зом.

• Там, где воз­мож­но, мо­де­ли­руй­те ди­на­ми­че­ское на­гру­же­ние ста­ти­че­ски эк­ви­ва­лент­ны­ми на­груз­ка­ми.

• Ис­поль­зуй­те под­кон­ст­рук­ции для ли­ней­ных час­тей рас­чет­ной мо­де­ли, что­бы умень­шить за­тра­ты вре­ме­ни и ком­пь­ю­тер­ных ре­сур­сов.

Ис­поль­зуй­те аде­к­ват­ную сет­ку.

• Имей­те в ви­ду, что в об­лас­тях мо­де­ли, где име­ют ме­сто пла­сти­че­ские де­фор­ма­ции, не­об­хо­ди­ма ра­зум­ная плот­ность то­чек ин­тег­ри­ро­ва­ния. Это осо­бен­но важ­но для зон пла­сти­че­ских шар­ни­ров, т.к. для по­лу­че­ния ак­ку­рат­но­го ре­ше­ния при на­ли­чии боль­ших пе­ре­ме­ще­ний тре­бу­ет­ся, что­бы от­дель­ный эле­мент из­ги­бал­ся не бо­лее чем на 30 гра­ду­сов.

• Аде­к­ват­ная плот­ность сет­ки не­об­хо­ди­ма на по­верх­но­стях кон­так­та для по­лу­че­ния глад­кой функ­ции рас­пре­де­ле­ния дав­ле­ния.

• В об­лас­тях мо­де­ли, где тре­бу­ет­ся оп­ре­де­лить на­пря­же­ния или де­фор­ма­ции, сет­ка долж­на быть бо­лее мел­кой, чем в об­лас­тях, в ко­то­рых вы­чис­ля­ют­ся пе­ре­ме­ще­ния.

• При про­ве­де­нии мо­даль­но­го ана­ли­за раз­мер сет­ки вы­би­ра­ет­ся в за­ви­си­мо­сти от выс­шей фор­мы ко­ле­ба­ний, пред­став­ляю­щей ин­те­рес. Чис­ло не­об­хо­ди­мых эле­мен­тов за­ви­сит как от функ­ции пе­ре­ме­ще­ний эле­мен­та, так и от мо­ды ко­ле­ба­ний.

• Ес­ли при ди­на­ми­че­ском ана­ли­зе важ­но по­лу­чить кар­ти­ну вол­но­вых про­цес­сов в сис­те­ме, то тре­бу­ет­ся не ме­нее 20 эле­мен­тов на од­ну дли­ну вол­ны.

При­кла­ды­вай­те на­груз­ки по­сте­пен­но.

• Для не­кон­сер­ва­тив­ных сис­тем на­груз­ка долж­на уве­ли­чи­вать­ся за счет дос­та­точ­но ма­лых при­ра­ще­ний, что­бы га­ран­ти­ро­вать по­лу­че­ние дос­то­вер­ной за­ви­си­мо­сти “на­груз­ка-пе­ре­ме­ще­ние”.

• Схо­ди­мость ре­ше­ния для не­кон­сер­ва­тив­ных сис­тем ино­гда мож­но улуч­шить по­сте­пен­ным при­ло­же­ни­ем на­груз­ки, что ми­ни­ми­зи­ру­ет чис­ло рав­но­вес­ных ите­ра­ций Нью­то­на-Раф­со­на.

Бла­го­ра­зум­но ис­поль­зуй­те рав­но­вес­ные ите­ра­ции.

• Пре­дос­тав­ляй­те про­грам­ме воз­мож­ность вы­пол­нять дос­та­точ­ное чис­ло ите­ра­ций. Это осо­бен­но важ­но при мед­лен­ной схо­ди­мо­сти ре­ше­ния для кон­сер­ва­тив­ных сис­тем.

• На­обо­рот, в тех слу­ча­ях, ко­гда важ­на ис­то­рия на­гру­же­ния, не сле­ду­ет, ви­ди­мо, пре­вы­шать ус­та­нов­лен­ное по умол­ча­нию чис­ло рав­но­вес­ных ите­ра­ций (25): ес­ли не­кон­сер­ва­тив­ная за­да­ча схо­дит­ся мед­лен­но на дан­ном ша­ге ре­ше­ния (как пра­ви­ло, чрез­мер­но боль­шом), это зна­чит, что Ва­ше ре­ше­ние мо­жет ук­ло­нить­ся слиш­ком да­ле­ко от ис­тин­но­го.

Пре­одо­ле­ние труд­но­стей схо­ди­мо­сти

Схо­ди­мость не дос­ти­га­ет­ся, ес­ли фор­му­ли­ров­ка за­да­чи при­во­дит к от­ри­ца­тель­ной глав­ной диа­го­на­ли мат­ри­цы, рас­счи­ты­ва­ют­ся чрез­мер­но боль­шие пе­ре­ме­ще­ния или про­сто не уда­ет­ся дос­тичь кри­те­ри­ев схо­ди­мо­сти за оп­ре­де­лен­ное чис­ло рав­но­вес­ных ите­ра­ций. От­сут­ст­вие схо­ди­мо­сти мо­жет ука­зы­вать на фи­зи­че­скую не­ста­биль­ность (ну­ле­вая или от­ри­ца­тель­ная же­ст­кость) кон­ст­рук­ции или на про­бле­мы по­лу­че­ния чис­лен­но­го ре­ше­ния для ко­неч­но-эле­мент­ной мо­де­ли.

Для улуч­ше­ния схо­ди­мо­сти мож­но ис­поль­зо­вать не­сколь­ко тех­ни­че­ских прие­мов.

Ав­то­ма­ти­че­ский вы­бор ша­га ре­ше­ния.

• При ис­поль­зо­ва­нии этой про­це­ду­ры вме­сте с кон­такт­ны­ми эле­мен­та­ми (CONTAC48, CONTAC12 и т.д.) про­грам­ма мо­жет не­од­но­крат­но де­лить шаг по­по­лам до тех по­ра, по­ка не бу­дет дос­тиг­нут ми­ни­маль­ный, что обес­пе­чи­ва­ет ус­той­чи­вость ре­ше­ния, но при­во­дит к боль­шим за­тра­там вре­ме­ни. Кон­такт­ные эле­мен­ты име­ют оп­цию (KEYOPT(7)), ко­то­рая по­зво­ля­ет кон­тро­ли­ро­вать, на­сколь­ко про­грам­ма кон­сер­ва­тив­на при вы­бо­ре ша­га ре­ше­ния, и да­ет воз­мож­ность, в ря­де слу­ча­ев, ус­ко­рить по­лу­че­ние ре­ше­ния.

• Для дру­гих не­ли­ней­ных эле­мен­тов так­же не­об­хо­ди­мо ос­то­рож­но вы­би­рать ми­ни­маль­ный шаг. Ес­ли вы­брать слиш­ком ма­лый шаг, то про­це­ду­ра ав­то­ма­ти­че­ско­го вы­бо­ра ша­га мо­жет чрез­мер­но уве­ли­чить вре­мя ре­ше­ния за­да­чи. И на­обо­рот, вы­брав слиш­ком боль­шой шаг, мож­но не до­бить­ся схо­ди­мо­сти.

• Не за­бы­вай­те ука­зать верх­ний пре­дел ша­га ре­ше­ния, осо­бен­но для слож­ных мо­де­лей, - для га­ран­тии то­го, что все ин­те­ре­сую­щие ас­пек­ты по­ве­де­ния сис­те­мы не бу­дут упу­ще­ны. Это мо­жет ока­зать­ся важ­ным в сле­дую­щих си­туа­ци­ях:

- за­да­чи с ма­лым вре­ме­нем на­рас­та­ния на­гру­зок; ес­ли шаг ре­ше­ния слиш­ком ве­лик, то эта часть ис­то­рии на­гру­же­ния мо­жет ока­зать­ся не­точ­но пред­став­лен­ной;

- за­да­чи, ко­то­рые ка­са­ют­ся кон­ст­рук­ций, под­вер­жен­ных по­сто­ян­но­му воз­бу­ж­де­нию в не­ко­то­рой по­ло­се час­тот (на­при­мер, за­да­чи на сейс­ми­че­ское воз­дей­ст­вие).

• Будь­те ос­то­рож­ны при мо­де­ли­ро­ва­нии ки­не­ма­ти­че­ских сис­тем (сис­тем с под­виж­ны­ми звень­я­ми). Шаг ре­ше­ния для та­ких сис­тем обыч­но на не­сколь­ко по­ряд­ков боль­ше ша­га, не­об­хо­ди­мо­го при рас­че­те соб­ст­вен­ных час­тот сис­тем. Ис­поль­зо­ва­ние та­ко­го гру­бо­го ша­га мо­жет прив­не­сти за­мет­ный “чис­лен­ный шум” в ре­ше­ние и да­же сде­лать его не­ус­той­чи­вым. Для по­лу­че­ния удов­ле­тво­ри­тель­но­го ре­ше­ния сле­ду­ет ис­хо­дить из та­ких ре­ко­мен­да­ций:

- ис­поль­зуй­те шаг ре­ше­ния, по­зво­ляю­щий най­ти, по край­ней ме­ре, од­ну не­ну­ле­вую час­то­ту сис­те­мы;

- вво­ди­те зна­чи­тель­ное чис­лен­ное демп­фи­ро­ва­ние (0.05 < <0.1) в ре­ше­ние для фильт­ра­ции вы­со­ко­час­тот­но­го шу­ма, осо­бен­но ес­ли ис­поль­зу­ет­ся гру­бый шаг ре­ше­ния;

- из­бе­гай­те вво­дить пе­ре­ме­ще­ния как эле­мент ис­то­рии на­гру­же­ния, по­сколь­ку это пред­по­ла­га­ет тео­ре­ти­че­ски бес­ко­неч­ный ска­чок ус­ко­ре­ния, что вы­зы­ва­ет про­бле­мы ус­той­чи­во­сти при ис­поль­зо­ва­нии ал­го­рит­ма чис­лен­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния Нью­мар­ка.

Ис­поль­зо­ва­ние би­сек­ций.

Про­це­ду­ра би­сек­ции ста­но­вит­ся дос­туп­ной, ес­ли ис­поль­зу­ет­ся оп­ция ав­то­ма­ти­че­ско­го вы­бо­ра ша­га ре­ше­ния. В об­щем слу­чае по­зво­ля­ет до­бить­ся схо­ди­мо­сти да­же при ис­поль­зо­ва­нии слиш­ком боль­шо­го ша­га ре­ше­ния. При­ме­не­ние би­сек­ции обыч­но по­лез­но для тех ви­дов ана­ли­за, ко­то­рые чув­ст­ви­тель­ны к ве­ли­чи­не ша­га на­гру­же­ния, а так­же при оп­ре­де­ле­нии кри­ти­че­ских на­гру­зок для не­ли­ней­ных сис­тем.

Ис­поль­зо­ва­ние ме­то­дов Нью­то­на-Раф­со­на и адап­тив­но­го спус­ка.

Вы­бор оп­ций для при­ме­не­ния ме­то­да Нью­то­на-Раф­со­на за­ви­сит от ти­па при­сут­ст­вую­щих в мо­де­ли не­ли­ней­но­стей. И хо­тя до­бить­ся хо­ро­шей схо­ди­мо­сти обыч­но уда­ет­ся, пре­дос­та­вив это про­грам­ме, ино­гда мож­но по­лу­чить луч­шие ре­зуль­та­ты са­мо­стоя­тель­но. На­при­мер, ес­ли не­ли­ней­ное по­ве­де­ние ма­те­риа­ла про­ис­хо­дит в от­но­си­тель­но ма­лой об­лас­ти рас­чет­ной мо­де­ли, ис­поль­зо­ва­ние мо­ди­фи­ци­ро­ван­но­го ме­то­да Нью­то­на-Раф­со­на, или оп­ций на­чаль­ной же­ст­ко­сти, мо­жет умень­шить вре­мя ра­бо­ты цен­траль­но­го про­цес­со­ра. Про­це­ду­ра адап­тив­но­го спус­ка при­ме­ня­ет­ся с пла­сти­че­ски­ми и не­ко­то­ры­ми дру­ги­ми не­ли­ней­ны­ми эле­мен­та­ми, вклю­чая кон­такт­ные. В тех слу­ча­ях, ко­гда пе­ре­рас­пре­де­ле­ние на­пря­же­ний не слиш­ком су­ще­ст­вен­но, то схо­ди­мость улуч­шит­ся при от­клю­че­нии этой про­це­ду­ры. Ес­ли един­ст­вен­ной не­ли­ней­но­стью яв­ля­ет­ся на­ли­чие боль­ших де­фор­ма­ций, то влия­ние этой про­це­ду­ры не­зна­чи­тель­но.

Про­ве­ряй­те ре­зуль­та­ты ана­ли­за

Хо­ро­ший стиль ко­неч­но-эле­мент­но­го ана­ли­за тре­бу­ет, что­бы осу­ще­ст­в­ля­лась про­вер­ка его ре­зуль­та­тов. Сле­ду­ет под­твер­дить, что Вы по­ни­мае­те ра­бо­ту про­грам­мы, пра­виль­но ее ис­поль­зуе­те, при этом чис­лен­ные ре­зуль­та­ты вер­но опи­сы­ва­ют по­ве­де­ние рас­смат­ри­вае­мой кон­ст­рук­ции. Мож­но ис­поль­зо­вать ряд спо­со­бов ве­ри­фи­ка­ции ре­зуль­та­тов.

Тес­то­вые про­вер­ки.

Хо­ро­шим спо­со­бом удо­сто­ве­рить­ся в том, что Вы вер­но ис­поль­зуе­те те или про­це­ду­ры про­грам­мы, яв­ля­ет­ся про­ве­де­ние од­но­го или не­сколь­ких тес­то­вых рас­че­тов для про­стых сис­тем с из­вест­ны­ми “учеб­ны­ми” ре­ше­ния­ми. При этом сле­ду­ет стре­мить­ся к то­му, что­бы тес­то­вые при­ме­ры бы­ли дос­та­точ­но близ­ки к пол­но­мас­штаб­ной кон­ст­рук­ции.

При­ем­ле­мы ли Ва­ши ре­зуль­та­ты?

Боль­шин­ст­во ин­же­не­ров с са­мо­го на­ча­ла сво­ей дея­тель­но­сти при­вык­ли оце­ни­вать дос­то­вер­ность сво­их ре­зуль­та­тов, вне за­ви­си­мо­сти от спо­со­бов их по­лу­че­ния. Пе­ред про­ве­де­ни­ем лю­бо­го ана­ли­за сле­ду­ет все­гда иметь хо­тя бы пред­став­ле­ние о ре­зуль­та­тах, ко­то­рые ожи­да­ют­ся. Ес­ли по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты от­ли­ча­ют­ся от ожи­дае­мых, то сле­ду­ет по­нять, по­че­му это про­изош­ло.

Изу­чай­те про­ме­жу­точ­ные вы­да­чи.

Рас­пе­чат­ки да­ют воз­мож­ность под­дер­жи­вать об­рат­ную связь с про­грам­мой. Не про­пус­кай­те со­об­ще­ний об ошиб­ках и пре­ду­пре­ж­де­ни­ях, не ра­зо­брав­шись пол­но­стью в их со­дер­жа­нии.

Гра­фи­ки на­гру­зок и ре­ак­ции сис­те­мы.

Пост­про­цес­сор­ные гра­фи­че­ские ре­зуль­та­ты долж­ны со­гла­со­вы­вать­ся с ожи­дае­мы­ми осо­бен­но­стя­ми по­ве­де­ния сис­те­мы. Так, ис­ко­мые ве­ли­чи­ны (пе­ре­ме­ще­ния, си­лы ре­ак­ции, на­пря­же­ния и т.д.) долж­ны быть от­но­си­тель­но глад­ки­ми функ­ция­ми от­кли­ка рас­смат­ри­вае­мой сис­те­мы. На­ру­ше­ния глад­ко­сти мо­гут ука­зы­вать на ис­поль­зо­ва­ние чрез­мер­но гру­бо­го ша­га ре­ше­ния.

Изу­че­ние чув­ст­ви­тель­но­сти ре­ше­ния.

При оцен­ке по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов сле­ду­ет очень при­дир­чи­во от­но­сить­ся к лю­бым вход­ным па­ра­мет­рам (в эту ка­те­го­рию по­па­да­ют боль­шин­ст­во про­грамм­ных па­ра­мет­ров, ус­та­нав­ли­вае­мых по умол­ча­нию). Ос­но­ва­тель­ная ве­ри­фи­ка­ция ре­зуль­та­тов мо­жет вклю­чать ис­сле­до­ва­ние то­го, как влия­ют та­кие ве­ли­чи­ны, как шаг ре­ше­ния, раз­мер эле­мен­тов (плот­ность сет­ки), до­пус­кае­мая по­греш­ность схо­ди­мо­сти, ре­аль­ные кон­стан­ты эле­мен­тов (та­кие, как KN и KT для эле­мен­тов CONTAC48 и CONTAC49). Кро­ме то­го, сле­ду­ет рас­смот­реть эф­фект ста­ти­сти­че­ских ха­рак­те­ри­стик свойств ма­те­риа­ла.

Про­ве­де­ние ис­пы­та­ний.

Про­вер­ка ре­зуль­та­тов ана­ли­за пу­тем про­ве­де­ния со­от­вет­ст­вую­щих ис­пы­та­ний яв­ля­ет­ся од­ним из наи­бо­лее до­ро­гих средств ве­ри­фи­ка­ции, но это обыч­но и наи­бо­лее дос­то­вер­ный спо­соб из всех воз­мож­ных.