Свойства прямого произведения

1. Прямое произведение не коммутативно и не ассоциативно.

   1. Не коммутативно: A  B  B  A

   2. Не ассоциативно: (A  B)  C  A  (B  C).

Это эквивалентно утверждению <<a, b>, c>  <a,<b, c>>. Докажем это. По определению

 <a, b>  a, c  <b, c>  <<a, b>, c>  <a,<b, c>>

(по определению)

2. Дистрибьютивность прямого произведения относительно объединения и пересечения:

(A  B)  C = (A  C)  (B  C)

(A  B)  C = (A  C)  (B  C)

Лемма (О мощности произведения двух множеств)

Пусть A = {a₁, ..., a_n}иB = {b₁, ..., b_k}. Тогда|A  B| = |A|  |B|.

Доказательство:A  B={<a_i, b_i>}, a_i  A, дляi = 1,2,3,...,n, b_i  B, дляi = 1,2,3,...,k.

| <a₁, b₁> ... <a₁, b_k> |

A  Bможно представить в виде матрицы: | - - - - - - - - - - - - |

| <a_n, b₁> ... <a_n, b_k> |

Значит |A  B| = n  k = |A|  |B|



Теорема.

|A₁  A₂  ...  A_n| = | A₁|  | A₂|  ...  | A_n |, n  N (1).

Доказательство (методом математической индукции):

1. n = 2  |A₁  A₂| = | A₁|  | A₂| (по Лемме).

2. Допустим при n = k  |A₁  ...  A_k| = | A₁|  ...  | A_k |

Надо доказать: |A₁  ...  A_k  A_k+1 | = | A₁|  ...  | A_k |  | A_k+1 |

Доказательство: |A₁  ...  A_k  A_k+1 | =[по Лемме]=|A₁  ...  A_k|  | A_k+1 |=[по допущению]=

= | A₁|  ...  | A_k |  | A_k+1 |

Так как выполнено оба условия обобщенного принципа математической индукции, то равенство (1) выполняется при  n  N, n  2.

Следствие (Произведение n одинаковых многочленов):

| A  ...  A| = |A|ⁿ

(n множеств А)

Пример:A = {0, 1} = E₂, |E₂| = 2. E₂  E₂ ={<0, 0>, <0, 1>, <1, 0>, <1, 1>}

| E₂  ...  E₂| = |E₂|ⁿ = 2ⁿ.

(nраз)