Дискретная математика

Читал: Павлов Игорь Сергеевич

Набрал: Смирнов Вадим Евгеньевич

ННГУ, 2000 г.

Глава IV. Конечные автоматы.

(Лекция 12)

По каналам поступают сигналы заранее определенных множеств.

А – множество входных сигналов (входной алфавит)

В – множество выходных сигналов (выходной алфавит)

Q – множество внутренних состояний (алфавит состояний)

А, В, Q – конечные множества

t = 0, 1, 2, 3, … - дискретное время

a – функция от дискретного времени

а = x(t) b = y(t) q = z(t)

Рассмотрим функцию выхода: F: A  Q  B

F(a, q) = b, a  A, b  B, q  Q

Функция следующего состояния (функция перехода): G: A  Q  Q

G(a, q) = q’ q₀ – начальное состояние

Пусть  = <A, B, Q, F, G, q₀>

Определение. Система  = <A, B, Q, F, G, q₀> называется абстрактным конечным автоматом.

Рекуррентные формулы задания автомата

- Это Каноническое уравнение автомата

Способы задания конечного автомата:

1) Табличный

x(t)	z(t-1)	y(t)	Z(t)
A	Q	F	G

2) Аналитический (формульный)

3) Графический

	F(a, q) = b G(a, q) = q’

Получим Диаграмму Мура

Определение. Диаграмма Мура это ориентированный корневой граф:

(а) множество вершин которого совпадает с множеством q;

(б) пусть (a, b) a  A, b  B такие что для q  Q и для a  A существует ровно одно ребро, выходящее из вершины q, в котором первая буква – а.

Примеры автоматов:

1) Тривиальный Q = {q₀}, t = 0

y(t) = F(x(t)), y = F(x)

A = B = E₂ = {0; 1}

x(t)	z(t-1)	y(t)	z(t)		Диаграмма Мура:
0	q0	0	q0
1	q0	1	q0

2) Автомат задержек

A = B = Q = {0; 1}

Определение

x(1) = 0 y(1) = z(0) = 0

x(t)	z(t-1)	y(t)	z(t)		Диаграмма Мура:
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	1	1

3) Автомат с тремя состояниями (покой, возбуждение и промежуточное положение):

A = B = E₂,

x(t)	z(t-1)	y(t)	z(t)
0	q0	0	q2
1	q0	0	q2
0	q0	0	q0
1	q0	0	q0
0	q0	1	q1
1	q0	1	q1

Словарные функции

Введем начальные понятия:

A = {a₁, …, a_k} – набор букв (алфавит)

 = ₁₂…_n – слово (_i  A)

 - пустое слово

|| - длина слова (число букв, из которых состоит слово)

|| = 0

Свойства:

1. Свойство пустого слова:  =  = 

2. Ассоциативность: () = ()

3. Некоммутативность:   

Обозначения:

A­ⁿ – множество всех слов длины n.

- множество всех слов, которые можно составить из букв алфавита А.

Сверхслово – слово, составленное из бесконечного числа букв.

A^ - множество всех сверхслов ₁₂…

f: A^*  B^* - словарная функция.

Примеры:

1. f(x) = 

2. f(x) = x

3. f(x₁, …, x_n) = x₂x₃…x_nx₁

4. f(x₁, …, x_n) = x_nx_n-1…x₁ f(сон) = нос

5. A = B = {0, 1} = f(x₁, …, x_n) = x₁, x₁  x₂, x₂  x₃, …, x_n-1  x_n

(Лекция 13)

Определение. Словарная функция называется автоматной, если существует автомат, реализующий ее.

g() – состояние, в которое перейдет автомат после подачи сигнала .

f: A^*  B^*

При этом

g: A^*  B^*

Определение. Функция f(x) называется детерминированной, если выполняются условия:

1. |f()| = ||

2. Для любых ,   A^* слово f() – начало слова f(), то есть f() = f(), где  = [по определению] = f_() – остаточная функция для слова .

Пример:

f_() = _k  ₁, ₁  ₂, …

_k = 0  f_() = ₁, ₁  ₂, … = g()

_k = 1  f_() = 1, ₁  ₂, … = H()

g() и H() – разные остаточные функции.

Утверждение: Функция остаточная детерминированной есть детерминированная функция.

Доказательство:

Докажем f_() – детерминированная, если f(x) – детерминированная

1. Проверить: | f_()| = ||.

Доказательство: рассмотрим | f_()| = [так как f - детерминированная] = || = || + || (1)

С другой стороны: f() = f()f_()  | f_()| = |f()| + |f_()| = [так как f - детерминированная] =

= || + |f_()| (2)

Из (1) и (2) следует, что || = |f_()|, что и требовалось доказать в первом пункте.

2. Проверим условие f_() = f_()

Доказательство: f() = [по 2-му условию детерминируемости функции f] = f()f_() (3)

f() = [f(x, ) - детерминируемая] = f()f_() (4)

Из (3) и (4) получим , что и требовалось доказать во втором пункте.

Вывод: Мы доказали, что если f – детерминированная, то:

1. f_ - детерминированная

2. (f_)_ - детерминированная

3. 

Определение. Число (r(f)) остаточных функций в данной функции f называется ее весом.

Определение. Детерминируемая функция называется ограниченно детерминированной, если ее вес конечен.

Теорема (Критерий автоматности функции)

Функция является автоматной тогда и только тогда, когда она ограниченно детерминированная.

Доказательство:

1. Необходимость. Функция автоматная  [по определению]  Существует автомат, реализующий ее  Строим диаграмму Мура. Число вершин (состояний автомата) конечно, но оно не может быть меньше веса функции  вес конечен  Функция детерминированная.

2. Достаточность. (Доказать самостоятельно )

Определение. Функция f: A^  B^ называется детерминированной тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1. Для любого s  0, s-й символ y(s) слова - однозначно детерминируемая функция первых s символов x(1)x(2)…x(s) слова . То есть в первый момент времени x(1)  y(1), x(2)  y(2).

2. Если начала слов и совпадают, то совпадают и начала слов той же длины и . Другими словами, функция f: x₁x₂…x_n  y₁y₂…y_n - детерминируемая, если y_n – функция от x₁, x₂, …, x_n, но не зависит от последующих (x_n+1, …).

Пример:

(x(1), x(2), …) = x(2)x(3)…, то есть y(t) = x(t+1), t  1, то есть эта функция детерминируемая, так как y(t) зависит от входного сигнала в следующий момент времени.

Построение диаграмм Мура для ограниченно детерминированных функций

A = B = E₂ = {0, 1}

Каждому ребру припишем 0 или 1 по следующему правилу: 0 – левое ребро 1 – правое ребро

Для любого слова  можно найти только одни ориентированный путь, идущий из корня, двигаясь по которому можно прочитать слово .

Например, пусть  = e₁e₂…e_n, () = (e₁)…(e_n)

(e_i)- отображение, задающее значения функции.

() = f(), где f – некоторая функция, связанная с информационным деревом.

Пример:  = 110,

|f()| = 3 = || f() = f()f()

 f - детерминируема

Определение. Функция может быть представлена информационным деревом, тогда и только тогда, когда она детерминируема.

T(V_i) ~ f() – поддерево, растущее ниже.

Определение. Вершины V₁ и V₂ называются эквивалентными, если остаточные функции, соответствующие деревьям T(V₁) и T(V₂) одинаковые. Если собрать все эквивалентные вершины в класс, то каждый класс будет соответствовать какой-либо остаточной функции. Таких классов будет столько, сколько остаточных функций. Таким образом, функция является ограниченно детерминируемой тогда и только тогда, когда число классов эквивалентных вершин в информационном дереве конечно.

Пример:

f(x₁, x₂, …, x_n, …)  [по определению]  f(x) = x₁, x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, x₃  x₄  x₅, … - детерминируема, так как любое y_i зависит от x₁, …, x_i-1

1. 

f₀(x) = x₁, x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, … = f(x)

f₁(x) = 1  x₁, 1  x₁  x₂  x₃, …

2. 

f₁₀(x) = 1  x₁, x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, …

f₁₁(x) = x₁, 1  x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, …

Далее аналогично

3. f₀₀₀(x) = x₁, x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, …

f₁₀₁(x) = 1  x₁, 1  x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, …

f₁₁₀(x) = 1  x₁, x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, …

f₁₁₁(x) = x₁, 1  x₁  x₂, x₁  x₂  x₃, …

(Лекция 14)

f = f₀ f₁₀

f₁ f₁₁

Теперь строим диаграмму Мура. Для этого склеим все одинаковые вершины.

Автоматы с несколькими входами и выходами

= (x1(t), …, xn(t)) = (y1(t), …, yn(t)) = (y1(t), …, yn(t))

F_i: Aⁿ  Q^k  B

G_j: Aⁿ  Q^k  Q

i = 1, …, m; j = 1, …, k

Произвольная синхронная логическая сеть

Реализация сложения с помощью конечного автомата

Представим числа в двоичном виде:

+	x1(1)	x1(2)	…	x1(n)	0
	x2(1)	x2(2)	…	x2(n)	0
	y(1)	y (2)	…	y(n)	y(n+1)

Нереализуемость умножения с помощью конечного автомата

- слово

a^ = a … a … - сверхслово

<1> = 1000… <2> = 0100… <3> = 1100… <4> = 0010…



<2n> = 0n10 f(<n>) = <n2> f(<2n>) = <22n>

F(0ⁿ10^) = 0²ⁿ10^ = [по второму условию детерминируемости функций] =

= 0ⁿ10^, так как f(0ⁿ) = 0ⁿ

Таким образом, вес функции f бесконечен. Значит, по критерию автоматности функции  f – не автомат, то есть нет автомата, реализующего ее.