1.2.4.Траектории и линии тока.

При эйлеровом описании для наглядности вводят линии тока. Линия тока — кривая, касательная к которой в каждой точке параллельна вектору скорости. Уравнения для линий тока получаются из их определения

или (1.5)

При лагранжевом описании для наглядности вводят траектории жидких частиц — геометрическое место их положений. Формула представляет собой параметрическое задание траекторий. Уравнение траектории можно найти, если известно поле скорости при эйлеровом описании. Для этого надо решить систему:

(1.6)

Если не зависит от t (стационарное поле скорости), то линии тока и траектории удовлетворяют одним и тем же уравнениям, т.е. линии тока т траектории частиц совпадают.

1.3 Основные законы движения сплошной среды в интегральной форме.

Мы постулируем основные законы движения сплошной среды в интегральной форме для индивидуального объема. Назовем индивидуальным объем сплошной среды, состоящий из одних и тех же частиц. В процессе движения этот объем искажается, но масса его должна сохраняться.

1.3.1.Закон сохранения массы

m = const ; или (d/dt)m = 0

Для того, чтобы записать закон сохранения массы в интегральной форме, введем понятие плотности.

Плотность

Рассмотрим индивидуальный объем сплошной среды V, состоящий из малых индивидуальных объемов V. Пусть их масса равна m. Используя гипотезу сплошной среды, можно перейти к пределу при V0, т.е. стянуть этот объем в точку. Плотностью называется предел отношения :

,

Тогда масса конечного индивидуального объема m = . А закон сохранения массы для конечного индивидуального объема имеет вид:

(1.7)

1.3.2.Закон сохранения импульса.

Рассмотрим индивидуальный объем сплошной среды V, состоящий из малых индивидуальных объемов V с массой m. Пусть этот объем V движется со скоростью . Тогда его импульс можно определить как , а плотность импульса- как предел отношения:

Импульс конечного индивидуального объема будет определяться как интеграл.

Введя импульс конечного индивидуального объема Q, постулируем 2-й закон Ньютона для индивидуального объема.

Скорость изменения импульса индивидуального объема равна сумме всех действующих на него внешних сил:

(1.8)

Здесь 1-е слагаемое в правой части (1.8) — объемная сила, действующая на конечный индивидуальны объем, - плотность объемных сил. Она вводится следующим образом. Пусть имеется малый объемV. На него действует сила . Если существует предел

, (1.9)

то он называется плотностью объемных сил.

А сила, действующая на конечный индивидуальный объем сплошной среды

Пример объемной силы — сила тяжести:

На объем V массой m действует сила тяжести .

Ее плотность ,согласно(1.9) определяется соотношением:

Сила тяжести, действующая на конечный индивидуальный объем, равна

.

2-е слагаемое в (1.8)— поверхностные силы, а — вектор поверхностных напряжений. Он вводится следующим образом. Рассмотрим элемент поверхности , окружающей индивидуальный объем, имеющий площадь S, вектор нормали к которому . На этот элемент поверхности действуют сила . Если существует предел ,то онназываетсявектором поверхностных напряжений.Тогда поверхностная сила, действующая на всю поверхность, равна . Пример поверхностной силы — сила давления.