Лекция 4

4.Законы сохранения в стационарном потоке идеальной жидкости. Метод контрольных поверхностей.

В механике сплошных сред часто не нужно знать детали течений, а только некоторые интегральные характеристики. При этом часто используется метод нахождения характеристик стационарных течений, основанный на использовании интегралов уравнений динамики и термодинамики сплошной среды по некоторым объемам, называемым контрольными объемами. Эти объемы не являются индивидуальными, их выбирают из соображений удобства. Проинтегрируем уравнения механики сплошных сред(3.18) по такому объему, и посмотрим, какие при этом получатся следствия для стационарных течений.

4.1. Закон сохранения массы.

Начнем с уравнений неразрывности

Проинтегрируем дифференциальное уравнения сохранения массы по некоторому произвольному стационарному объему:

(4.1)

и используя вторую вспомогательную формулу (1.18), преобразуем первое слагаемое в (4.1) к виду .

Применяя теорему Остроградского-Гаусса к правой части предыдушего соотношения, имеем из закона сохранения массы:

(4.2)

Где  — поверхность, ограничивающая объем V. Обсудим смысл уравнения (4.2): в левой части (4.2)— изменение массы внутри некоторого объема; в правой части — интеграл от потока некоторого вектора через границу этого объема. Этот вектор будем называть вектором плотности потока массы. Действительно, рассмотрим площадку малой площади S на поверхности  с вектором нормали . Пусть жидкость( газ) пересекает эту поверхность со скоростью. Масса жидкости, протекающая через эту площадку за времяt в направлении нормали, равна:

m = S v_n t  

В единицу времени через единицу площадки протекает масса:

Таким образом, введенный выше вектор , действительно имеет смысл плотности потока массы

В стационарном потоке из ( 4.2) следует:

(4.3)

Следовательно, поток массы через замкнутую поверхность в этом случае равен 0.

Рассмотрим трубку тока. Для этого рассмотрим в жидкости произвольный контур S и проведем через него линии тока. Полученная поверхность называется трубкой тока. Вектор скорости направлен по касательной к боковой поверхности трубки тока. Пусть течение стационарно. Тогда трубка тока — стационарная поверхность. Применим к ней закон сохранения массы(4.3). Интеграл по боковой поверхности равен 0, т.к. v_n| = 0, () = 0,.

Тогда (4.3) можно переписать в виде суммы интегралов по сечениям S_1?2

=0 (4.4)

Рис.

Пусть трубка тока очень тонкая, так что интегрирование по соответствующим сечениям можно заменить произведением. Полагая также, что площадки S₁ и S₂ перпендикулярны векторам скорости, из (4.4) нетрудно получить, что – ₁S₁v₁ + ₂S₂v₂ = 0, т.е. вдоль тонкой трубки тока сохраняется величина:

Sv = const.(4.5) .

Это закон сохранения потока массы для тонкой трубки тока.

4.2. Закон сохранения импульса. Тензор потока импульса.

Теперь обратимся к закону сохранения импульса для ее i-й проекции( ср.2.23):

(4.6)

Прибавим к этому уравнению (4.6) комбинацию ,равную нулю по закону сохранения массы. Тогда имеем:

Введем вектор . Тогда очевидно, что мы получили закон сохранения i-й компоненты импульса в дивергентной форме:

(4.7)

Если мы теперь проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V и применим теорему Остроградского-Гаусса, то получимиз (4.7):

(4.8)

При F_i = 0 изменение i-й компоненты импульса в объеме V равно потоку вектора через площадку, ограничивающую этот объем.В связи с этим вектор называется вектором плотности потока i-й компоненты импульса. Таких векторов будет 3, так как есть три проекции вектора скорости. Из интегральной формулы видно, что - поток импульса через площадку, ориентированную перпендикулярно вектору . Тогда проекция вектора на направление показывает потокi-й компоненты импульса через площадку, вектор нормали к которой направлен по . Поэтому выражение для проекции_{ij является тензором:}

_ij =  v_i v_j –  _{ij (4.9)}

Девять величин _ij образуют тензор (симметричный), который называется тензором потока импульса. Запишем разные выражения для вектора потока импульса и разные выражения для закона сохранения импульса

1. Поток импульса

= = v_i v_n –  _ij n_j, (4.10)

Для идеальной жидкости, где  _ij = – p _ij

_ij =  v_i v_j + p _ij

=  v_i v_n + pn_i

2. Закон сохранения импульса

(4.11)

В векторном виде

с учетом определения имеем:

(4.12)

Для идеальной жидкости в векторном виде:

(4.13)

Для стационарного течения жидкости в отсутствие внешних сил имеем:

(4.14)

Или для идеальной жидкости:

(4.15)

Эти интегралы используются для вычисления сил, действующих на поверхности твердых тел. Соответствующий метод называется методом контрольных поверхностей