Присоединенная масса
Итак, пусть на тело
массы m
действует сила
.
Тело погружено в идеальный безграничную
несжимаемую жидкость. Найти ускорение
тела:
На жидкость со стороны тела действует сила
Сила, действующая
на жидкость
— равна изменению импульса жидкости.
Казалось бы дальше задача решается
просто.
1. Находим поле скорости в жидкости. Для этого решаем уравнение Лапласа
= 0
Un(t) — нормальная проекция скорости на поверхность тела. Решение будет точно таким же, как в случае равномерного прямолинейного движения. Далее находим импульс жидкости
Но
,
а dv ~ r2
dr . Такой
интеграл расходится, т.е. таким способом
вычислить импульс жидкости не удается.
Будем тогда рассуждать. Импульс жидкости — это количество движения, которое нужно сообщить жидкости, чтобы создать из состояния покоя рассматриваемое движение. Предположим, что это движение мы создаем за счет движения того же самого тела, которое действует на жидкость силой G(t).
При этом тело совершает над жидкостью работу
где
— скорость тела. При этом, поскольку в
начальный момент времени жидкость
покоилась, то ее кинетическая энергия
была равна 0, т.е. кинетическая энергия
жидкости в момент времени t
равна A(t),
т.е.
или
Таким образом, изменение импульса жидкости выражается через изменение ее кинетической энергии. При этом кинетическую энергию жидкости вычислить можно
Этот интеграл сходится.
Заметим, что поле скорости получается из решения линейного уравнения ( = 0), значение скорости входит в граничные условия, т.е. поле скорости жидкости — динейная функция скорости тела. Но при этом кинетическая энергия жидкости будет представлять собой квадратичную форму от скорости тела, т.е.
из симметии ясно, что mij = mji.
Тогда
Таким образом
,
а pжi
= Uj
mij.
Эти рассуждения
недостаточно строгие. Надо, строго
говоря, доказать, что сила, действуующая
на тело
,
так связана с изменением кинетической
энергии жидкости.
Вернемся к задаче,
сформулированной вначале. Найдем
ускорение погруженного тела, на которое
действует сила
.
Проекция на ось i.
Итак
Итак, в силу того, что тело ускоряет увлекаемую за ним жидкость, то это эквивалентно увеличению массы и даже возникновению других составляющих ускорения, отличных от направления силы. Эти эффекты описываются величиной mij, которая называется тензором присоединенной массы.
Рассмотрим пример.
Лекция 9
Движение шара в жидкости. Потенциальное обтекание.
Пусть шар радиуса a движется в жидкости со скоростью U. Найдем
1) поле скорости
2) распределение давления по поверхности шара
3) присоединенную массу.
Постановка задачи
Лапласиан в сферических переменных
Решение ищем методом разделения переменных
m = -2; m = 1.
При r
;
этому условию соответствует m
= –2, т.е.
Из граничного условия на поверхности сферы имеем
Поле скорости
Распределение давления по поверхности сферы
Перейдем в СО, в которой тело покоится. Тогда скорость
Распределение давления на поверхности сферы найдем по теореме Бернулли
Присоединенная масса
1. Сначала находим кинетическую энергию движения жидкости.
По определению присоединенной массы
Сравнивая эти два выражения, имеем:
Присоединенная масса равна 1/2 массы жидкости в объеме тела.
Вычислим импульс жидкости непосредственно
0 — неопределенность.
Таким способом нельзя находить импульс жидкдости и присоединенную массу. А надо ее находить из кинетической энергии жидкости.