Лекция 8

Гидродинамика несжимаемой жидкости

По определению жидкость называется несжимаемой, если при движении сохраняется индивидуальный объем:

Применим формулу

В нашем случае A = 1, т.е. . Отсюда условие несжимаемости .

Из уравнения сохранения массы тогда следует

Т.е. плотность жидкой частицы сохраняется.

Система уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости:

— условие несжимаемости играет роль уравнения состояния. Действительно, как мы только что видели, следствием является сохранение плотности индивидуальной частицы. Как мы видели ранее, это означает, что dp /d = , т.е. скорость звука в несжимаемой жидкости бесконечна. Другими словами, это означает, что рассматриваются процессы, имеющие такие характерные масштабы по пространству L, времени T и скорости v, что L / T, v << C.

Чтобы поставить полностью задачу, надо еще задать граничные условия и начальные условия. Можно представить себе 2 типа граничных условий: 1.-граничные условия на разрыве между двумя несжимаемыми жидкостями и2.- граничные условия на поверхности твердого тела.

1. Граничные условия на разрыве. В несжимаемой жидкости может быть только тангенциальный разрыв. Ударные волны невозможны, так как они имеют скорость больше скорости звука, а в несжимаемой жидкости она . Пусть S() — граница раздела, вообще говоря, неизвестна.

Граничные условия

1.

т.е. есть дополнительно неизвестная функция , где U_n — это скорость движения границы раздела. Это кинематическое граничное условие или граничное условие непротекания.

2. — динамическое граничное условие

2.На поверхности твердого тела S , где U_n — нормальная проекция скорости движения твердого тела.

Больше граничные условия не нужны, так как поверхность S определена.

Покажем, что в несжимаемой жидкости условие потенциальности может быть выполнено только в однородной жидкости (  = const). Запишем уравнение Эйлера:

,

Вычислим rot 0 л.г. и п.ч. с учетом того, что

, где , т.е. ,

Но отсюда следует, что  =  ( p ), т.е. процесс баротропный. Но для каждой жидкой частицы (  = const). (несжим.), т.е.

, т.е.

В силу того, что , уравнение Эйлера примет вид:

Отсюда ., если Z направлено вверх.

Но отсюда имеем: .

Функция F (t) может быть положена равной 0 без ограничения общности, поскольку можно сделать замену переменных

которая не влияет на поле скорости

Отсюда сразу можно найти давление на поверхности твердого тела.

Итак, мы получили 1-й интеграл уравнения Эйлера для потенциального движения — интеграл Коши-Лагранжа для нестационарного потенциального движения несжимаемой жидкости.

При из него следует формула Бернулли:

Поскольку условие несжимаемости содержит только , то оно дает полную кинематическую характеристику движения сплошной среды в эйлеровом описании. Отсюда ясно, что условия несжимаемости часто достаточно, чтобы определить, как происходит движение жидкости, т.е. чтобы определить поле скоростей. А потом из уравнения сохранения массы можно найти плотности, а из уравнения Эйлера — давление.

Простейший пример.

Течение жидкости по трубе. Если , то US = const, т.е. . Плотность . А из формулы Бернулли находим давление:

;

Рассмотрим более универсальный пример.