3.4. Скорость звука

Определим физический смысл величины . Рассмотрим уравнение для малых возмущений состояния идеального газа (жидкости). Эти уравнения мы в дальнейшем будем называть линейными. Пусть жидкость ( газ) находится в состоянии равновесия с постоянным давлением p₀, плотностью ₀, энтропией S₀ , причем p₀ связано с ₀ и S₀ уравнением состояния p₀ = p₀ (₀, S₀).

Предположим, что возникли малые возмущения, зависящие только от одной пространственной координаты x и от времени t. Запишем уравнения движения идеальной жидкости в одномерном случае:

— закон сохранения массы,

— уравнение Эйлера, (3.12)

— второе начало термодинамики,

p = p (  , S ) — уравнение состояния.

Представим термодинамические и гидродинамические величины в виде сумм средних и возмущений, полагая, что средние по времени от возмущений равны нулю:

 = ₀ + ₁ (x,t)

v = v₁ (x,t)

S = S₀ + S₁ (x,t)

p = p₀ + p₁ (x,t)

Будем считать, что отклонение величин от равновесных значений мало. Представим все слагаемые, входящие в уравнения (3.12)в виде рядов по малым переменным и отбросим все слагаемые выше 1-го порядка малости. Тогда из (3.12) получим линейную систему уравнений гидро( газо) динамики идеальной жидкости(газа):

(3.13)

Отсюда видно, что возмущение равновестной энтропии можно положить равной нулю( S₁ = 0). Подставим в уравнениe Эйлера p₁, выраженное из линеаризованного уравнения состояния, получим вместо (3.13) два уравнения:

(3.14)

Исключая v₁:, имеем из (3.14 ) волновое уравнение для возмущения давления:

-(3.15)

Известно, что его решение можно представить в виде суммы двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях:

 = R₁ (x – ct) + R₂ (x + ct) (3.15)

где ,R₁ — это плоская волна, бегущая в положительном направлении оси x, R₂ — в отрицательном направлении оси x. Это так называемые волны сжатия и разрежения, т.е. звуковые волны, а с— это скорость звука.

Итак , параметр, входящий в условие равновесия жидкости( газа) в поле тяжести, имеет смысл скорости звука , т.е. скорости распространения звуковых волн малой амплитуды. Пусть  = const, т.е. независимо от давления плотность не меняется. Это соответствует пределу несжимаемой жидкости. Тогда скорость звука c = . , т.е. в несжимаемой жидкости скорость распространения малых возмущений бесконечна. На самом деле скорость звука конечна, но в этом пределе достаточно велика. Отсюда ясно, что любую среду можно считать несжимаемой, если рассматриваемые в ней процессы много медленнее, чем процесс, связанный с распространением звука. Сформулируем это условие более точно. Пусть характерный пространственный масштаб процесса L, а характерный временной масштаб - Т. Тогда жидкость или газ можно считать несжимаемыми, если

(3.16)

Чем определяется скорость звука ?.Из определения скорости звука следует, что она определяется сжимаемостью cреды.: если сжимаемость плохая (плотность меняется слабо, например, при адиабатическом изменении давления), то скорость звука велика.Приведем выражение для скорости звука совершенного газа. Для совершенного газа уравнение состояния имеет вид[ ]:

При адиабатическом процессе изменения термодинамического состояния газа давление p и плотность  связаны формулой так называемой политропной формулой [ ]:

где — показатель адиабаты., равный отношению теплоемкостей при постоянном давлению к теплоемкости при постоянном объеме.

Поэтому скорость звука для совершенного идеального газа при адиабатическом процессе сжатия определяется следующим соотношением:

(3.17)

Видно, что скорость звука в идеальном газе зависит только от абсолютной температуры.