3.Приближение гидростатики. Стационарное течение идеальной жидкости(газа).

Изучение механики идеальной жидкости или газа начнем с так называемого приближения гидростатики. Пусть течение жидкости (газа) отсутствует, т.е. = 0 ( жидкость неподвижна). Тогда из уравнения сохранения массы следует, что  /  t = 0 , а значит = ( x , y , z ) . Уравнения Эйлера при этом сводится к виду:

(3.1)

, называемому уравнением гидростатики, из которого следует, что в отсутствии внешних объемных сил(= 0) внутри покоящейся жидкости давлениеp = const. Это закон Паскаля, который известен из школьного курса физики.

Таким образом, в отсутствии внешних массовых сил плотность жидкости  является произвольной функцией координат, а давление р -постоянно и не зависит, например, от формы сосуда, в который налита жидкость. Каким же условиям должны удовлетворять внешние объемные силы, чтобы идеальная жидкость могла находиться в условиях гидростатического равновесия.

3.1. Общие условия равновесия жидкости в поле массовых сил.

Пусть , где- массовая плотность объемных сил. Вычислимrot от этого выражения. Поскольку согласно (3.1) p = , то

rot = rot + [ , ] = 0 (3.2)

Умножим (3.2) на скалярно, тогда получим условие, которому должны удовлетворять плотность объемных сил, чтобы идеальная жидкость находилась в состоянии гидростатического равновесия :

rot = 0 .

Важным является случай, когда внешние силы имеют потенциал, т.е. = . Пример такой силы — сила тяжести. Оказывается , что потенциальный характер массовых сил накладывает дополнительные ограничения на пространственное распределение плотности. Действительно, если = , то rot  0, а из ( 3.2.) следует, что [  ]=0. Это означает ,что векторы  и  должны быть колениарны Но тогда  =  (), и из уравнения гидростатики (3.1) следует, что p = p (). Таким образом, при гидростатическом равновесии поверхности равных значений потенциала  ( = const) являются поверхностями равного давления и плотности.

Рассмотрим в качестве примера покоящуюся жидкость( газ),плотность которой является функцией только давления ,т.е. (р) , находящуюся в поле силы тяжести.Такая жидкость называется баротропной, а равновесие баротропным. В этом случае , а = gz; тогда p = p (z) и  = (z.)Рассмотрим основные случаи баротропного равновесия в поле тяжести.

1. Если  = ₀ = const-жидкость(газ) несжимаема, то p = p₀ – ₀ g (z – z₀)

2. Газ, в котором молекулы взаимодействуют только при столкновениях, так называемый совершенный газ. Примером совершенного газа может являться газ атмосферы. В совершенном газе давление , плотность, температура связаны уравнением Клапейрона:

, (3.3)

где R- универсальная газовая постоянная ,-молекулярная масса газа. Заметим также , что внутренняя энергия совершенного газа пропорциональна его абсолютной температуре , т.е. Подставляя уравнение состояния (3.3) в (3.1) находим равновесное распределение давление

Отсюда ,где- давление приz=0 .

Таким образом , мы получили так называемую барометрическую формул, описывающую изменение плотности ( давления) с высотой . При Т=const (изотермический термодинамический процесс) мы получаем известную барометрическую формулу для изотермической атмосферы. Аналогичная формула описывает изменение давления( плотности) газа с высотой в атмосфере, если известно распределение T (z).

В следующем разделе остановимся еще на одном , известном из курса средней школы явлении, следующем из закона гидростатики-на силе Архимеда.