6.Поверхности разрыва

До сих пор при введении основных понятий и при установлении систем уравнений , связанных с моделями сплошной среды, предполагалось, что сами уравнения и определяемые ими функции непрерывны вместе со своими производными. Однако эти предположения являются довольно сильным ограничением, неприемлемым в ряде важных практических задач Действительно очень часто приходится рассматривать сплошные среды с резко различающимися свойствами( например , граница жидкость- твердое тело). Наиболее типичной является граница раздела жидкость- твердое тело: в жидкости могут существовать различные типы движений , однако на границе с твердым телом нормальная компонента скорости жидкости должна обращаться в ноль- жидкость не протекает сквозь твердое тело. Кроме того, в идеальных жидкостях и газах возможно существование таких движений, при которых физические величины терпят разрыв внутри одного вещества. Такие решения допускают уравнения идеальной гидродинамики. Скачки гидродинамических величин наблюдаются на некоторых поверхностях, которые называются поверхностями разрыва. Эти поверхности не привязаны к определенным частицам жидкости или газа. Они движутся с некоторыми скоростями, которые называются скоростями движения поверхности разрыва. Частицы могут, вообще говоря, переходить с одной стороны поверхности разрыва на другую. Строго говоря, поверхности разрыва имеют конечную, но очень малую толщину по сравнению со всеми характерными масштабами задачи, но эта толщина определяется уже в рамках так называемой вязкой задачи. Для описания поверхностей разрыва на них формулируют граничные условия: соотношения, связывающие гидродинамические величины по разные стороны от поверхности разрыва, где движения предполагаются непрерывными.

6.1. Граничные условия на разрыве

Получим выражения для этих граничных условий из уравнений гидродинамики. Пусть S — поверхность разрыва. Выберем на поверхности S точку М. Предположим, что скорость точки М в момент t была равна . Перейдем в инерциальную систему отсчета, которая движется со скоростью . Выберем индивидуальный объем V в виде параллелепипеда со сторонами h и l (см.рис.6.1), который в момент времени t содержит внутри себя поверхность разрыва. Найдем

, (6.1)

где S=l².

Воспользуемся 1-й вспомогательной формулой, которая имеет вид:

, (6.2)

где А — произвольная скалярная величина. Применим эту формулу к индивидуальному объему V, содержащему внутри себя поверхность разры

Рис.6.1

ва, тогда имеем для первого слагаемого правой части (6.2)приближенное соотношение :

(6.3 (а))

А для второго:

(6.3.(б))

Далее примем во внимание, что с учетом того, что , поскольку , а , поскольку . Тогда получим 3-ю вспомогательную формулу, соответствующую случаю , когда интегрирование в (6.1)происходит по индивидуальному объему, содержащему внутри себя поверхность разрыва:

(6.4)

Применим эту формулу к законам динамики сплошной среды, записанным в интегральной форме, для того чтобы получить соотношения между физическими характеристиками сплошной среды на поверхностях разрыва.