Линии тока и траектории

Потенциал:

Функция тока

Линии тока

Траектории:

лагранжевы координаты

Предположим, что ka << 1, где а — амплитуда возвышенной поверхности. Из кинематического граничного условия , т.е.

Будем искать решение системы в виде разложения по малому а.

Отсюда траектории (на об.стр.)

Из кинематического граничного условия имеем:

Если ,то, отсюда

Окончательно получаем траектории — эллипсы

Предельные случаи:

1) Если , а , тогда траектории окружности

2. Учтем эффект поверхностного натяжения на поверхности воды. В этом случае давление на поверхности воды будет равно р, такое, что , гдеR — радиус кривизны поверхности, а  — коэффициент поверхностного натяжения.

Динамическое граничное условие примет вид:

Если теперь мы не будем учитывать вариации давления воздуха на поверхности воды, то получим:

Радиус кривизны поверхности выражается следующим образом:

Тогда имеем динамическое граничное условие:

Линеаризованная система уравнений:

Решая аналогично, получим дисперсионное уравнение в виде:

Рассмотрим разные предельные случаи.

1. Приближение глубокой воды: . В этом случае и дисперсионное соотношение принимает вид

Решение уравнения Лапласа: (при)

1.1. Если , то ; — это волны, для которых несущественен капиллярный эффект, так называемые гравитационные волны. Для воды это волны с длиной более нескольких сантиметров.

Фазовая скорость гравитационных волн c_ф =

Групповая скорость гравитационных волн c_гр = c_ф

1.2. Если , то

Это короткие капиллярные волны.

Фазовая скорость c_ф =

Групповая скорость c_гр =_ф

2. Приближение мелкой воды kH << 1

В этом случае капиллярность, как правило, можно не учитывать, тогда th kH  kH ² = k²Hg;  = k — уравнение длинных волн без дисперсии

c_{гр =}

c_{гр = =}c_ф

Дисперсионное уравнение для волн на воде:

(рис.)

Откуда берется сила поверхностного натяжения

На свободной поверхности жидкости действуют дополнительные силы, связанные с неравноправностью положения молекул, находящихся на поверхности жидкости. Силы межмолекулярного притяжения приводят к “втягиванию” молекул на поверхности вглубь жидкости. Этот эффект эквивалентен тому, что поверхность жидкости оказывается как бы натянутой, как растянутая резиновая пленка. если ее искривить, у нее возникнет дополнительная сила, действующая на поверхности, которая называется силой поверхностного натяжения. Это приведет к изменению граничных условий на поверхности. Вычислим силу, действующую на поверхности. Пусть поверхность задана уравнением Z =  (x,y,t).

Выберем элемент поверхности от (x, x + x)(y, y + y). Пусть на единицу длины элемента поверхности действует сила натяжения , направленная по касательной к поверхности. В силу изотропии  по всем направлениям одинаково. Результирующая сила будет действовать по нормали. Она будет равна

F = l₂ + l₁,

где l₁,l₂ — длины элементов дуги в направлениях x и y . Но , гдеR₁, R₂ — радиусы кривизны поверхности в двух выбранных направлениях. Тогда

Но l₁,l₂ = S — площадь выделенного участка. Таким образом на поверхности будет действовать дополнительное поверхностное напряжение, направленное по нормали к поверхности

С учетом этого можно написать граничное условие на поверхности раздела воздуха и воды в виде: