Лекция 10
Применение метода конформных отображений для решения задачи обтекания цилиндрических тел
Итак, мы построили решение эталонных задач.
1. Безграничный поток. От этого решения легко перейти к ограниченному потоку, например, в верхней полуплоскости.
W(Z) = V0Z , где V0 — действительная величина при y 0. (10.1)
2. Обтекание кругового цилиндра с циркуляцией.
(10.2)
Пусть мы произвели конформное преобразование — переход от комплексной перeменной Z к комплексной переменной с помощью аналитической функции f, т.е.
Z = f ( )
Тогда от комплексного потенциала W(Z) мы перейдем к комплексному потенциалу
W1() = W(f ()), где = + i
Аналитическая функция Z = x( ,) + iy( ,) задает преобразование координат от (х,у) к ( ,) со свойствами Коши-Римана. При этом, если W(Z) = (x,y) + i (x,y),
то W1() = ( ,) + ( ,) = (x( ,),y( ,)) + i (x( ,),y( ,))
Линии тока в плоскости Z соответствовали (x, y) = const. Они переходят в линии тока ( , ) = = (x( ,),y( ,)). Т.е. линии тока переходят в линии тока. Поверхность твердого тела является линией тока ( поверхность цилиндра или поверхность плоскости). При конформном преобразовании эта поверхность переходит также в линию тока, которую можно считать поверхностью нового тела: при этом картину линий тока получаем автоматически. Здесь возможны 2 постановки задачи.
1. Прямые задачи. Известно выражение для векторного потенциала эталонной задачи, например,в задаче обтекания цилиндра или полуплоскости. Произведем конформное преобразование. При этом можно решить задачи обтекания каких то новых тел.
2. Обратная задача (более сложная). Пусть имеется цилиндрическое тело заданной формы (ограниченное), например, в форме крыла. Надо найти преобразование координат, переводящее круг в форму заданного контура, а внешнюю область круга — в область течения вокруг тела. После того, как эта задача решена, решение задачи обтекания крыла находится сразу, поскольку комплексный потенциал течения вокруг цилиндра известен.
Мы приведем здесь простейший пример решения 1-й задачи.
Пусть задан комплексный потенциал обтекания полуплоскости
W = VZ ; y 0. Рассмотрим
конформное
преобразование вида
(10.3)
Комплексный
потенциал W
перейдет в
(10.4)
В этом случае
Полупрямая y
= 0 ; x
> 0, т.е.
перейдет в
Полупрямая y
= 0 ; x
< 0, т.е.
переходит в
Таким образом, с помощью указанного преобразования от задачи об обтекании полуплоскости перешли к задаче об обтекании угла (n > 1) или (клина n < 1).Рассмотрим линии тока, соответствующие данному комплексному потенциалу.
Рассмотрим
комплексный потенциал
(10.4)
Соответствующие
ему линии тока имеют вид:
Э
а потенциал
скорости-
.Радиальная
и азимутальная компоненты скорости
имеют вид:
(10.4)
При
При
Найдем распределение давления вдоль угла по формуле Бернулли
1.
=0;
При n > 1 p растет при приближении к вершине угла (1)
При n < 1 p падает при приближении к углу клина.
Как мы увидим ниже, в случае уменьшения скорости вдоль поверхности (или роста давления) в реальной жидкости потенциальное течение перестает описывать реальное течение жидкости.При этом происходит отрыв линии тока и образуется область не потенциального течения.