3.4. Скорость звука

Определим физический смысл величины . Рассмотрим уравнение для малых возмущений состояния идеального газа (жидкости). Пусть он находится в состоянии равновесия в покое, с давлением p₀, плотностью ₀, энтропией S₀ , причем p₀ связано с ₀ и S₀ уравнением состояния идеального газа p₀ = p₀ (₀, S₀).Предположим также , что все источники внешнего тепла отсутствуют ( )

Пусть возникли малые возмущения равновестного состояния, зависящие только от одной пространственной координаты x и от времени t. Запишем уравнения одномерные уравнения движения идеальной жидкости в виде

— закон сохранения массы,(3.11)

— уравнение Эйлера (3.12)

— второе начало термодинамики (3.13)

p = p (  , S ) — уравнение состояния.

Представим термодинамические и гидродинамические величины в виде сумм средних( равновестных) величин и возмущений:

 = ₀ + ₁ (x,t)

v = v₁ (x,t)

S = S₀ + S₁ (x,t)

p = p₀ + p₁ (x,t)

Будем считать, что отклонение величин от равновесных значений мало.Представим все слагаемые, входящие в уравнение для возмущений в виде рядов по малым величинам и отбросывая все слагаемые выше 1-го порядка малости, получим:

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Отсюда видно, что S₁ = 0. При этом из уравнения (3.13) (3.14) получим

(3.17)

Исключая v₁: из 3.17), получим волновое уравнение для возмущений плотности

-

. Его решение можно представить в виде суммы двух функций

 = R₁ (x – ct) + R₂ (x + ct)

где ,R₁ — соответствует плоской волне, бегущей в положительном направлении оси x, R₂ — волне, бегущей в отрицательном направлении оси x. Это волны описывают сжатие и разрежение т.е. представляют собой звуковые волны, а

это скорость распространения звуковых волн малой амплитуды.

Предположим, что  = const, т.е. независимо от давления плотность не меняется. Это соответствует несжимаемой жидкости. В этом случае скорость звука с , т.е. в несжимаемой жидкости скорость распространения малых возмущений бесконечна. Конечно, в реальных условиях скорость звука в этом случае просто бесконечно велика. Отсюда ясно, что любую среду можно считать несжимаемой, если рассматриваемые в ней процессы много медленнее, чем процесс, связанный с распространением звука. Сформулируем это условие более точно. Пусть характерный пространственный масштаб процесса L, а характерныйвременной период - Т. Жидкость или газ можно считать несжимаемыми, если

(3.18)

Чем определяется скорость звука? Это определяется уравнением состояния. Так для совершенного газа уравнение состояния имеет вид

При адиабатическом же процессе p и  связаны формулой

,

где — показатель адиабаты.

Поскольку адиабатический процесс в идеальном газе является изэнтропическим (это следует из обратимости процессов в идеальном газе), то определяется соотношением:

Ясно, что для совершенного газа скорость звука зависит только от абсолютной температуры. В общем случае скорость звука определяется сжимаемостью cреды:если сжимаемость плохая (плотность меняется слабо при адиабатическом изменении давления), то скорость звука велика.