Лекция 3

Гидростатика

Изучение механики идеальной жидкости (или газа) начнем с гидростатики. Пусть течение жидкости отсутствует, т.е. = 0( жидкость неподвижна). Тогда из уравнения сохранения массы следует, что  /  t = 0 , а значит = ( x , y , z ) . Уравнения Эйлера при этом сводится к виду

(3.1)

Это уравнение гидростатики, из которого следует, что в отсутствии внешних объемных сил(= 0) внутри покоящейся жидкости давлениеp = const. Это закон Паскаля, который известен из школьного курса физики [].Итак, в отсутствии внешних массовых сил плотность жидкости  - произвольная функция координат, а давление р -постоянно и не зависит от формы сосуда, в который налита жидкость. Каким же условиям должны удовлетворять внешние объемные силы, чтобы идеальная жидкость могла находиться в условиях гидростатического равновесия.

3.1. Общие условия равновесия жидкости в поле массовых сил.

Пусть , где- массовая плотность объемных сил. Вычислимrot от этого выражения. Поскольку из уравнения гидростатики следует, что p = , то

rot = rot + [ , ] = 0 ( 3.1)

Умножим (3.1.) на скалярно, тогда получим условие, которому должны удовлетворять плотность объемных сил, чтобы идеальная жидкость находилась в состоянии гидростатического равновесия :

rot = 0 . (3.2)

Важным является случай, когда внешние силы имеют потенциал, т.е. = . Пример такой силы — сила тяжести. Оказывается , что потенциальный характер массовых сил накладывает дополнительные ограничения на пространственное распределение плотности. Действительно, если = , то rot  0, а из ( 3.1.) следует, что [  ]=0. Это означает ,что векторы  и  должны быть коллиниарны Но тогда  =  (), и из уравнения гидростатики (3.1) следует, что p = p (). Таким образом, при гидростатическом равновесии поверхности равных значений потенциала  ( = const) являются поверхностями равного давления и плотности.

Рассмотрим в качестве примера баротропную жидкость( газ)(плотность такой жидкости(газа) может быть функцией только давления ,т.е. (р)) в поле силы тяжести. В этом случае, а = gz; тогда p = p (z) и  =  (z.) .Рассмотрим основные случаи баротропного равновесия в поле тяжести.

1. Если  = ₀ = const-жидкость(газ) несжимаема, то p = p₀ – ₀ g (z – z₀)

2. Совершенный газ. Уравнение состояния ( считаем газ идеальным) совершенного газа имеет вид[ ]:

, (3.3)

где R- универсальная газовая постоянная ,-молекулярная масса газа. Подставляя (3.3) в (3.1) находим

Отсюда (3.4),

где- давление приz=0.

Таким образом , мы получили барометрическую формул, описывающую изменение плотности ( давления) с высотой . Аналогичная формула описывает изменение давления( плотности) газа с высотой в атмосфере,если известно распределение T (z).

Для определения T(z) можно воспользоваться уравнением притока тепла( )в гидростатическом приближении:

,

где div — характеризует теплопроводность среды, q^** — приток нетепловой энергии (поглощение излучения и т.п). В следующем разделе остановимся еще на одном , известном из курса средней школы явлении, следующем из закона гидростатики-на силе Архимеда.