лекции / Lect-5(1)

Лекция 5

5.1. Сопло Лаваля

Как все-таки добиться того, чтобы газ в сосуде двигался со сверхзвуковой скоростью? и выжимал из сосуда со сверхзвуковой скоростью? Из формулы для v(p) ясно, что надо, чтобы p_e было меньше p_* . Но этого мало, надо добиться сохранения vS(x) вдоль трубы. Поскольку зависимость v(p) немонотонная, то ясно, что этого можно добиться, только если зависимость S(x) также будет немонотонной. Такое сопло с немонотонной зависимостью S(x) называют соплом Лаваля. В нем действительно удается получить сверхзвуковой поток.

Рассмотрим задачу о течении сжимаемого газа по трубе переменного сечения более подробно. Итак, пусть задано S(x). Внешние силы и источники тепла отсутствуют. Уравнение движения жидкости по трубе (они же на трубке тока):

Здесь x – координата вдоль трубы в направлении потока, - энтропия

Из последнего уравнения, с использованием основного термодинамического тождества

имеем:

Отсюда с учетом второго уравнения .

Но тогда: т.е.

Тогда 1-е и 2-е уравнения принимают вид:

Исключая отсюда d / dx, получим:

Определим, при каких условиях поток ускоряется, т.е. dv / dx > 0.

При v < c (в дозвуковом потоке) >0 при dS / dx < 0, т.е. сопло должно сужаться. При v > c (сверхзвуковой поток) >0 dS / dx > 0, т.е. сопло должно расширяться.

Какой это имеет физический смысл? Из уравнения Эйлера следует, что

т.е. для ускорения потока ( dv / dx > 0 ) нужен отрицательный градиент давления dp / dx < 0. В очень медленных потоках, когда v << c, и газ можно считать несжимаемым, скорость газа при уменьшении толщины трубки увеличивается (это следует из сохранения массы), а давление падает (по формуле Бернулли). При большой скорости потока (v порядка c) надо учитывать сжимаемость газа. Газ с большой скоростью поступает в узкую трубку, при этом необходимо учитывать эффект адиабатического сжатия, при котором давление растет. Возникает конкуренция эффектов гидродинамического понижения давления и адиабатического повышения. При v = c эти эффекты компенсируют друг друга. При v > c более сильным становится эффект адиабатического сжатия, поэтому при сужении трубки сверхзвуковой поток замедляется. Чтобы он ускорился, надо расширить трубку, тогда за счет понижения давления при адиабатическом расширении поток будет ускоряться.

Из этих рассуждений ясно, что для того, чтобы получить из дозвукового потока сверхзвуковой надо, чтобы газ двигался по трубке, которая сначала сужается и разгоняет его до скорости звука, а затем расширяется и разгоняет его дальше. При этом все величины: сечение трубки, давление и т.п. должны быть согласованы. Тогда течение газа будет стационарным.

Итак, качественно мы выяснили, как должно выглядеть сопло Лаваля. Рассмотрим как количественно можно рассчитать такое сопло. Пусть имеется резервуар, в котором поддерживается давление p₀, плотность ₀ при температуре T₀, давление на выходе p_e. Из сосуда выходит трубка, площадь сечения которой S(x). Рассмотрим, как можно рассчитать профиль сечения трубки S(x), чтобы поток на выходе имел заданную сверхзвуковую скорость. Удобной характеристикой потока газа является число Маха

M = v / c

В дозвуковом потоке M < 1; в сверхзвуковом M > 1. В теории сопла Лаваля принято выражать все величины как фукнции числа Маха. Эти формулы называются изэнтропическими. Получим их для совершенного газа. Запишем формулу Бернулли: ;

с учетом имеем

Но v=Mc, отсюда имеем:

; a ;

Воспользуемся тем, что

Тогда

С учетом уравнения адиабаты имеем:

,

Плотность потока газа

Построим эти зависимости. с_* , v_* , _* , p_* получаются из изэнтропических формул при M=1.

Зависимости представляют собой параметрические формулы, где параметром является число Маха М. Чтобы выполнялось условие vS = Q, надо , чтобы зависимость S(M) была следующей

Эта зависимость немонотонная. Она имеет минимум при М = 1.

Минимальное сечение сопла Лаваля называется критическим

Отсюда можно получить, что произвольное сечение зависит от М следующим образом:

Теперь ясно, как получить поток газа с заданными свойствами.

Пусть мы хотим получить М(x) — заданную зависимость и значение M_e на выходе.

Тогда по формуле S(M) мы находим S(x), а также все характеристики потока p, v, c,  как функции x. Они все согласованы. Если S_* / S_e задано, то задано p_* / p_e, а поскольку p_* однозначно связано с p₀, то, значит, задано отношение p_e / p₀. Такой режим работы сопла над расчетным сверхзвуковым.