Адиабатические и изотермические деформации

1. Если деформации изотермические, то Т = Т₀. В этом случае мы приходим к формулам, которые были рассмотрены выше.

2. Адиабатические деформации. Основное термодинамическое тождество для упругого твердого тела

Отсюда

Дифференцируя выражение для F, имеем

Если энтропия постоянна, а изменение температуры невелико, то его отсюда можно найти

отсюда

Т.е. при адиабатических деформациях

(T – T₀) ~ u_ll, т.е.

Таким образом, при адиабатических деформациях получаются такие же выражения для закона Гука, но с другими (адиабатическими) коэффициентами.

Динамика упругих деформаций

Начнем со статики. Выпишем условия равновесия для упругого деформированного твердого тела. Уравнение для импульса при дает:

а для имеется обобщенный закон Гука, т.е. мы можем определить деформации.

Часто источником деформации являются внешние силы, приложенные к поверхности тела. Если i-я компонента внешней силы, приложенная к поверхности S тела P_i, а нормаль к его поверхности , то г.у. равновесия поверхности имеет вид:

Уравнение равновесия вместе с г.у. дает полную систему для определения деформаций упругого твердого тела.

Однородные деформации

Допустим, что не зависит от координат, а силой тяжести можно пренебречь. Тогда

Напряжения определяются г.у. на поверхности твердого тела.

1. Деформация растяжения стержня.

Пусть стержень расположен вдоль оси Z и к его концам приложены силы, растягивающие его в противоположные стороны

при всех остальных i и j.

Деформации

Величину Е такую, что p = Eu₃₃ называются модулем растяжения или модулем Юнга. Он показывает связь относительного продольного растяжения и продольного напряжения. Итак:

Поскольку , то

Отношение – коэффициент Пуассона, он показывает относительное сжатие вдоль поперечной координаты при предельной нагрузке

Итак

Отсюда можно найти выражение для коэффициентов Лямэ через модуль Юнга и коэффициент Пуассона:

тогда

2. Деформация сдвига

Пусть напряжения приложены к верхней и боковым граням. Брусок закреплен.

Тогда .

Деформация

По определению

Пусть

то есть

dx’₂ = dx₂

Пусть в начальный момент отрезок был вертикальный, т.е. dx₁ = 0, тогда

поскольку то

3. Прямоугольный стержень в жидкости под действием гидростатического давления

На поверхностях

при i  j

Деформации

Произвольные деформации

Общее уравнение равновесия имеет вид:

Выражение для тензора напряжений через тензор деформаций

Выражение через модуль Юнга

Тогда

С учетом того, что , имеем:

Подставляя в уравнение и записывая его в векторном виде, имеем:

Это уравнение равновесия твердого тела.

Заметим, что , тогда

Т.е. имеем

Если объемные силы отсутствуют, то уравнение равновесия имеет вид:

С граничными условиями: , где – нормаль кS, а

Учет неравномерного нагрева

Если температура тела неоднородна по пр-ву, то

где

Но тогда условие равновесия примет вид:

.

Некоторые свойства

Возьмем div от обеих частей уравнения равновесия, получим

(т.к. )

Поскольку , то

–гармоническая функция.