Лекция 16 Сила, действующая на тело

Для вычисления силы воспользуемся методом контрольных поверхностей. Расчет проводим в СО, где тело покоится. Выберем контрольную поверхность в виде прямоугольника ABCD.

_ij — тензор потока импульса

_ij =  u_i u_j + p_ij–_ij ; С учетом того, что , _ij — тензор вязких напряжений

По определению

Найдем х-компоненту силы

Далеко от тела вязкими силами можно пренебречь везде, в том числе и внутри следа. Действительно

u = U + u

Самое большое значение принимает

Сила убывает при удалении от тела.

т.е. вязкую силу можно не учитывать

Заметим, что если поверхность ABCD находится достаточно далеко от тела, то возмущения скорости u достаточно малы. Поэтому будем учитывать только линейные по u слагаемые.

Первое слагаемое из условия несжимаемости.

Тогда имеем

На поверхностях АВ и СD равен 0, тогда

Устремим поверхности AD и ВС на  от тела, тогда

Справeдливы 2 утверждения.

1) Вне области следа справедлива формула Бернулли. Внутри — нет.

2) Давление внутри следа такое же, как снаружи (это следствие уравнений пограничного слоя)

Уравнение Бернулли

С точностью до линейных по скорости членов имеем вне следа

где u_1BC 0 только внутри следа, оно ~ , а u_2BC — это поле источника, убывающее при удалении от тела (оно ~ 1/x).

Теория упругости

Мы будем рассматривать твердое тело. Твердое тело отличается от жидкости и газа тем, что в нем могут действовать касательные напряжения даже в состоянии покоя. (В жидкости и газе в состоянии покоя действуют только нормальные напряжения – силы давления).

Кинематика деформируемого твердого тела.

Исторически сложилось так, что для описания деформируемого твердого тела пользуются лагранжевым описанием. Напомню, что при лагранжевом описании каждой точек сплошной среды ставится в соответствие 3 ее координаты в начальный момент времени. Задать движение сплошной среды в лагранжевых координатах означает задать координаты всех точек в любой момент времени.

Итак, пусть в начальный момент времени (до деформации) радиус-вектор некоторой точки твердого тела был .После деформации точка сместится, и ее радиус-вектор станет . Вектор называется вектором смещения.является функцией. Функция задает движение деформируемого тела в лагранжевых координатах. Еслине зависит от, т.е. все точки смещаются одинаково, то деформации тела не происходит.

Тензор деформаций

Предположим, что зависит от.Рассмотрим 2 точки: с лагранжевыми координатамии+ d.Расстояние между этими двумя точками.После деформирования обе точки сместятся: их координаты будути, причем

причем

Тогда

Тензор называется тензором деформации.

Некоторые свойства тензора деформаций.

Рассмотрим тензор деформаций в некоторой точкe. Тогда можно найти такую СК, в которой тензор деформаций будет диагональным. Рассмотрим тогда 2 точки на оси x_i и x_i + dx_i; после деформации эти точки примут координаты x_i’ и x_i’ + dx_i’. Эти точки останутся на оси x_i, т.к. вектор смещений имеет ед. компоненту

При этом

Длина произвольного отрезка

Видно, что сумма распадается на 3 независимых слагаемых, показывающих удлинение отрезка относительной осей. 2u_ij – показывает относительное удлинение.

Во всех практически случаях деформации малы, т.е. малы относительные удлинения отрезков, т.е. . Это приводит к тому, что практически во всех случаях в выражении для тензора деформаций можно пренебречь квадратичным членом, т.е.

.

При этом относительные удлинения элементов длины вдоль главных осей: