Лекция 8

8.Гидродинамика несжимаемой жидкости

Изучение неодномерных течений идеальной жидкости или газа представляет значительные трудности. Основным допущением, сыгравшим важную роль при описании практически важных задач, явилось два предположения [ ]. Во –первых , предположение о несжимаемости и , во- вторых, - об отсутствии в движущейся идеальной несжимаемой жидкости завихренности, т.е. . Обсудим каждое из этих предположений.

По определению жидкость называется несжимаемой, если при движении сохраняется индивидуальный объем, т.е.:

( 8.1)

Применим первую вспомогательную формулу к (8.1):

В нашем случае A = 1, т.е. . Отсюда условие несжимаемости принимает вид:

. ( 8.2)

Из уравнения сохранения массы :

с учетом (8.2) имеем:

, ( 8.3)

что означает, что плотность жидкой частицы сохраняется.

Система уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости примет вид:

(8.4)

Условие (8.2)( ) играет роль уравнения состояния. Действительно, как мы только что видели, следствием этого условия является сохранение плотности индивидуальной частицы. А это означает, чтоdp /d = , т.е. скорость звука в несжимаемой жидкости бесконечна велика, а, следовательно, в этом приближении рассматриваются процессы, имеющие такие характерные масштабы по пространству L, времени T и скорости v, что L / T, v << C.

Теперь обратимся к системе уравнений (8.4).Для решения этой системы необходимо задать граничные и начальные условия. Рассмотрим две возможных ситуации, соответствующие двум типам граничных условий: граничные условия на разрыве между двумя несжимаемыми жидкостями и граничные условия на поверхности твердого тела.

1. Граничные условия на разрыве. В несжимаемой жидкости реализоваться только тангенциальный разрыв. Ударные волны невозможны, так как они имеют скорость больше скорости звука, а в несжимаемой жидкости эта скорость бесконечно велика. Запишем граничные условия на тангенциальном разрыве при условии, что форма границы раздела

S() , вообще говоря, неизвестна.

Граничные условия включают в себя:

1.1. кинематическое граничное условие или граничное условие непротекания:, при этом с другой стороны от разрыва выполняется соотношение, где U_n — это скорость движения границы раздела.

1.2. динамическое граничное условие:

2.Предположим теперь, что граница известна и соответствует поверхности твердого тела S, т.е. , где U_n — нормальная проекция скорости движения твердого тела. Этого граничного условия оказывается достаточно для решения системы(8.4)

Сделаем еще одно отступление и покажем, что в несжимаемой жидкости условие потенциальности( отсутствия завихренности) может быть выполнено только в однородной жидкости (  = const). Запишем уравнение Эйлера:

,

и предположим, что rot v= 0 . Тогда нетрудно показать ,что

, (8.5)

а следовательно  =  ( p ), т.е. процесс баротропный. Но для каждой жидкой частицы  = const, поскольку жидкость несжимаема, т.е.

, что означает везде и , следовательно, жидкость однородна.

Теперь вновь обратимся к системе (8.4).В силу того, что для потенциального течения скорость , уравнение Эйлера примет вид:

(8.6)

Учитывая, что плотность в этом приближении постоянна, перепишем (8.6) в виде:, если ось Z направлено вверх.

Но отсюда имеем: . (8.7)

Функция F (t) может быть положена равной нулю без ограничения общности, поскольку можно сделать замену переменных,

которая не влияет на поле скорости, поскольку .

Отметим, что из (8.7) сразу можно найти давление на поверхности твердого тела.

Итак, мы получили 1-й интеграл уравнения Эйлера для потенциального движения — интеграл Коши-Лагранжа для нестационарного потенциального движения несжимаемой жидкости (см.(8.7)).

При из (8.7) следует формула Бернулли:

Поскольку условие несжимаемости содержит только , то оно дает полную кинематическую характеристику движения сплошной среды в эйлеровом описании. Отсюда ясно, что условия несжимаемости часто достаточно, чтобы определить, как происходит движение жидкости. Из уравнения сохранения массы можно найти плотности, а из уравнения Эйлера — давление.