Шестаков И.Г.(гр. 513)

Отчёт

Определение моментов инерции твердых тел с помощью трифилярного подвеса.

Цель работы: Определение моментов инерции твердых тел.

Приборы и материалы: Трифилярный подвес, осветитель, полупрозрачная шкала, несколько различных геометрических тел для измерения, секундомер с точностью 0.2с, штангенциркуль.

Теоретическая часть

Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трёх симметрично расположенных нитях, закреплённых у краёв платформы. Наверху эти нити так же симметрично прикреплены к диску меньшего радиуса, чем диаметр платформы. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к её плоскости и проходящей через её центр. Эти колебания в течение небольшого интервала времени и при отсутствии других колебаний можно считать гармоническими. Период колебаний зависит от момента инерции платформы. Найдём эту зависимость. Пусть максимальный угол поворота платформы равен ₀. Поворачиваясь на угол ₀, платформа одновременно поднимается на высоту h, приобретая потенциальную энергию mgh. При возвращении платформы в положение равновесия потенциальная энергия mgh переходит в кинетическую энергию вращательного движения J₀² /2.

В соответствии с законом сохранения энергии можно записать:

mgh = J₀²/2,

откуда

J = 2mgh / ₀² (1)

Пусть  изменяется по закону синуса:

 = ₀sin(2 t/T) (2)

В момент прохождения платформой положения равновесия угловая скорость её  достигает максимального значения 0 , которое может быть найдено из соотношения (2).  = /t = (2 0/T) cos(2 t/T), следовательно, 0 = 2 0/T (3) Определим h = h1–h2 Так как угол 0 мал, то приближённо можно считать h1+h2 =2l и тогда

h = (h₁²–h₂²)/2l

h₁² = l²–(R–r)² и h₂² = l²–(R²+r²–2Rrcos₀)

Подставляя эти значения в (1), получим:

h = Rr(1–cos₀)/l = 2Rrsin²(₀/2)/l

h  2Rr₀²/4l  Rr₀²/2l (4)

Используя (1), (3), (4), найдём:

J = mgRrT²/4²l (5)

Если на платформу поместить какое-либо тело, то момент инерции системы будет другим. Измеряя момент инерции системы J₀ при ненагруженной платформе и момент инерции J системы с телом, можно определить момент инерции тела J_T.

J_T = J–J₀.(6)

Величины l, R, r и масса платформы m₀ даются как постоянные прибора. Поэтому измерения сводятся лишь к определению массы тела и периода колебаний.

Возбуждение колебаний осуществляется поворотом верхнего диска.

Для повышения точности измерения времени используется шкала, осветитель и зеркало, укреплённое на платформе.

Практическая часть.

1. Теоретический расчет числа колебаний, которое необходимо взять для определения периода, чтобы расчет относительной погрешности для численного значения момента инерции производился по следующей формуле:

Расчет погрешности для численного значения момента инерции полученного экспериментально и рассчитываемого по формуле (6) производился по следующей формуле

Для того, чтобы при расчете момента инерции ошибка была минимальной необходимо, чтобы слагаемое было много меньше всех остальных (в раз).

В связи с тем, что колебания в нашем случае являются затухающими, а формула (5) справедлива только для гармонических колебаний, число колебаний равное является слишком большим. При изменении соотношения , величина меньше всех остальных слагаемых в 10 раз, число колебаний составило . Поэтому число колебаний для экспериментальных определений моментов инерций было взято .

2. Определение момента инерции пустой платформы. Параметры трифилярного подвеса составляют Во всех проведенных экспериментах число колебаний платформы составило n=10. Экспериментально полученные результаты представлены ниже.

t c	T c
43.8	4.400.02
44.0
43.8
44.2
44.0

Подставив, экспериментально поученные, численные значения периода колебания трифилярного подвеса в формулу (5) было получено значение момента инерции платформы:

3. Определение момента инерции кольца экспериментально и теоретически. Физические размеры кольца составляют

Численные значения периода колебания представлены ниже:

t c	T c
34.0	3.380.02
34.0
33.6
33.8
33.6

После подстановки численных значений в формулы (5) и (6) было получено экспериментальное значение момента инерции кольца:

Расчет теоретического значения момента инерции производился последующей формуле:

После подстановки численных значений в данную формулу был получен следующий результат:

4. Определение момента инерции полушара экспериментально и теоретически. Физические размеры полушара составляют Численные значения периода колебания представлены ниже:

t c	T c
25.8	2.560.02
25.4
25.6
25.4
25.6

После подстановки численных значений в формулы (5) и (6) было получено экспериментальное значение момента инерции кольца:

Расчет теоретического значения момента инерции производился последующей формуле:

После подстановки численных значений в данную формулу был получен следующий результат:

5. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера. В данном эксперименте использовался цилиндр, разрезанный вдоль высоты на два одинаковых полуцилиндра. Физические размеры данного тела составляют,

Экспериментальное значение момента инерции системы рассчитывалось по формуле (5), а момент инерции тела вычислялся по следующей формуле (где момент инерции системы, момент инерции трифилярного подвеса). Экспериментально полученные результаты представлены в следующей таблице:

№	х м	t c	T c	№	х м	t c	T c
1	0.000	44.5	44.370.02	3	0.115	82	81.670.02
		44				81
		44.6				82
2	0.055	57	56.470.02
		56
		56.4

х - расстояние от центра диска до центра масс тел.

В результате чего были получены следующие экспериментальные значения моментов инерции:

№	х м		№	х м
1	0.000		3	0.115
2	0.055

Теоретический расчет моментов инерции производился по следующей формуле:

(для системы тел)

В результате чего были получены следующие теоретические значения моментов инерции (для каждого тела отдельно):

№	r м		№	R м
1	0.000		3	0.115
2	0.055

Выводы:

1. Во всех заданиях в которых рассчитывались моменты инерции экспериментально и теоретически соответствующие численные значения лежат в непосредственной близости друг от друга, практически везде доверительные интервала экспериментальных и теоретических величин пересекаются.

2. В последнем задании из полученных экспериментально и теоретически значений моментов инерции видно, что для соответствующих значений r они лежат в непосредственной близости друг от друга. Этот факт доказывает теорему Гюйгенса-Штейнера.

4