СтудФайлы vol.1 / лабы / Мои лабы / Маховое колесо

Министерство обра­зования Российской Федерации

Нижегородский государ­ственный университет им. Н.И.Лобачевского

Физический факультет

Отчет

по лабораторной работе

«Определение момента инерции

махового колеса»

Выполнил:

студент группы №511

Кучин Д.П.

Проверил:

Позднеев Д.Б.

г. Нижний Новгород

2004 г.

Цель работы: экспериментальное определение моментов инерции махового колеса несколькими методами.

Теоретическая часть.

Момент инерции махового колеса можно определить двумя методами.

Метод вращения.

На шкив А (или В) наматывается нить с прикреплённым к ней грузом Р (рис.1.). Падая груз разматывает нить и приводит систему (маховое колесо К, шкивы А и В, ось С) во вращательное движение. При этом потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию вращательного движения системы.

На основании закона сохранения энергии можно записать:

(1)

Е_Р – потенциальная энергия груза в верхнем положении, Е и Е_к' - соответственно кинетическая энергия груза и кинетическая энергия вращающейся системы в тот момент, когда нить полностью размотается; А_тр - энергия, затраченная на работу против сил трения.

В

Рис. 1

ведём обозначения: m - масса груза; h - максимальная высота его подъёма; υ – скорость груза в нижнем положении; r - радиус шкива; J₀ - момент инерции системы;  - её угловая скорость в момент, когда груз достигает нижнего положения. Тогда уравнение (1) может быть переписано в виде:

(2)

Так как момент сил трения не зависит от скорости вращения, то движение системы будет равноускоренным. Зная высоту h и время движения груза t, легко подсчитать его скорость в нижнем положении:

(3)

Если нить разматывается без скольжения, то линейная скорость точек на поверхности шкива равна скорости груза и

(4)

Работа против сил трения пропорциональна числу оборотов, совершаемых системой, то есть

(5)

где – работа против сил трения за один оборот.

(6)

находится следующим образом.

В момент достижения грузом нижнего положения нить отделяется от шкива, а система продолжает вращаться, совершая работу против сил трения за счёт приобретённой кинетической энергии .

(7)

n₂ - число оборотов системы до полной остановки.

Используя соотношения (3), (4), (5), (6) и (7), можно представить (2) в следующем виде:

откуда

.

Все величины, входящие в правую часть этого равенства, могут быть измерены на опыте.

Метод колебаний.

Если на некотором расстоянии l от центра колеса прикрепить к нему дополнительный груз Q (рис.2.), то система превращается в физический маятник. Выведенный из положения равновесия, маятник будет совершать колебания под действием момента силы тяжести дополнительного груза. Пренебрегая силами трения, можно записать уравнение движения маятника в виде:

где J₀' – момент инерции маятника, m' – масса дополнительного груза.

Д

Рис. 2

ля малых углов sin ()  , то есть

или

(8)

Уравнение (8) представляет собой уравнение гармонических колебаний с периодом

.

Следовательно,

.

Практическая часть.

Приборы: сантиметровая линейка (м), штангенциркуль (м), секундомер ( с), весы ( г), грузы различной формы и массы.

Во всех приведённых ниже расчётах погрешностей использовалась доверительная вероятность .

Задание 1 (метод вращений)

r' (радиус оси) = 8,2 мм

l' (длина оси) = 209,5 мм

l ( толщина шкива) = 33 мм

h (толщина махового колеса) = 10 мм

d (диаметр махового колеса) = 134,8 мм

R (радиус первого шкива) = 37,5 см

r (радиус второго шкива) = 22,5 см

M (масса первого груза ) = 51,3 г

m (масса второго груза ) = 166,9 г

Таблица 1 (времён падения грузов, определяющих скорость вращения махового колеса после отрыва нити; и количества оборотов, совершённых системой по истечении вышеупомянутого времени времён перемещений грузов с высоты 1 метр).

R	r		R		r		R
M	M		M		m		m
	t	n2	t	n2	t	n2	t	n2
1	36,0	34,5	21,4	39	15,04	132	11,2	144
2	35,6	34,5	22,0	38	14,74	131	11,8	146
3	36,0	34,5	22,0	39,5	14,65	132	11,2	145

Экспериментально определены следующие величины: t, m, r, h, n2.

Подсчитав среднее статистическое значение для t для всех 4-х случаев (m и r , m и r , m и r , m и r), найдём 4 значения момента инерции всей системы и их погрешности по известной формуле:

Далее необходимо усреднить полученные значения моментов инерции системы с учётом их погрешностей. Найдём средневзвешенное значение:

_{4 4}

J₀ = (  (1/J_i )² J_i ) / ( (1/J_i )² )

^{i=1 i=1}

₄

J₀ = 1 / ( (1/J_i )² )^1/2

ⁱ⁼¹

J₀ = 0,0799 кг м²

J₀ = 0,0067 кг м² (что составляет 8% от J₀ ).

Найдём ту же величину теоретически.

Известно, что вся система состоит из следующих элементов: маховое колесо – 2 штуки, ось – 1 штука, шкив большой – 1 штука, шкив маленький – 1 штука.

Момент инерции диска ((r) = const), относительно геометрической оси вычисляется как:

J_Д = M R² / 2

Тогда момент инерции всей системы будет иметь вид:

₅

J_s =  J_i

ⁱ⁼¹

где J_i – момент инерции одного из описанных выше элементов. Имея геометрические параметры и массы данных тел, найдём момент инерции системы:

J_s = 0,0858 кг м².

Момент инерции шкивов и оси (без маховых колёс) составляет 0,0055 кг∙м², что не превышает погрешности, полученной при определении момента инерции всей системы. Следовательно, можно считать, что момент инерции одного махового колеса составляет 1/2 момента инерции системы.

Момент инерции махового колеса (экспериментально) вычисляется как:

J_K = J_s / 2

J_K = 0,0400 кг м².

Задание 2 (метод колебаний)

В ходе эксперимента измерим время 3-х колебаний для нескольких перегрузков.

Таблица 2 (времён 3^х колебаний физического маятника (модифицированное маховое колесо))

№	1	2	3
t1, c	9,8	9,8	9,6
t2, c	11	10,6	11

m₁ = 298,45 г

m₂ = 242,68 г

R₁ = 24,9 мм

R₂ = 14,45 мм

Таким образом, вычислим 4 значения момента инерции системы, а затем усредним их упомянутым в предыдущем методе способом. Получим:

J_S = 0,0879 кг м²

J_S = 0,0030 кг м²

В данном случае момент инерции шкивов и оси (0,0055 кг м²) превышает экспериментальную погрешность и, соответственно, не может быть опущен.

Запишем момент инерции махового колеса:

J_K = J_s / 2 - J^* - J^**

где J^* - момент инерции оси и шкивов, а J^** - момент инерции дополнительного груза (рассчитывается исходя из его массы и линейных характеристик).

J^** = 0,0014 кг м²

J_K = 0,0398 кг м².

Произведём усреднение полученных этими методами результатов (с учётом их погрешностей) – найдём средневзвешенное значение:

J_К = 0,0399 кг м².

J_К = 0,0020 кг м².

Вывод:

В ходе проведения данной работы экспериментально был определён момент инерции махового колеса, с использованием двух различных методов. Результаты были усреднены, так как они были получены разными методами для одной системы.

В случае метода колебаний был учтён момент инерции остальных составных частей системы (в первом случае из-за явно превышающей его погрешности он был опущен).