Задание 3.

Оценка коэффициента затухания системы δ, времени релаксации системы τ, числа колебаний N, которое совершает система за время τ, логарифмического декремента затухания d и добротности системы Q.

В данном эксперименте снималась зависимость двух величин уменьшения амплитуды колебания от времени. Полученные результаты представлены ниже:

 ()	t1 (с)	t2 (с)	ln
15	0	0	2.71
12	35	35	2.48
10	63	59	2.30
8	100	89	2.08
6	157	140	1.79
4	245	233	1.39

Для экспериментально полученный значений была построена зависимость lnА отt, которая представлена ниже:

Теоретические расчёты указывают на наличие линейной зависимости между величинами lnА от t. Из формулы (13) получаем следующий вид этой зависимости:

(25)

Расчет коэффициента линейной корреляции для данной зависимости логарифма натурального угла от времени производился по формуле (20).

Подставив, экспериментально полученные, численные значения в выражение (20) получим численное значение приближенного значения коэффициента корреляции:

R=0.998

Оценка коэффициента корреляции, столь близкая к единице, является убедительным доказательством наличия линейной зависимости между величинами и экспериментальным подтверждением теоретической формулы (25).

Теоретические расчёты -  методом наименьших квадратов.

Для нахождения численного значения экспериментально исследуется зависимость между натуральным логарифмом амплитуды колебания от времени. Иначе говоря, независимой переменной полагается Х = -.

Согласно (25) зависимость lnA(t) является линейной. Поэтому для нахождения величины β (где β = -) был применён метод наименьших квадратов. В эксперименте измерялось 6 пар значений t и lnA, затем по формуле (26)

(26)

вычислялось приближенное значения параметра, полагая b  β, и х_k = t_k, y_k = lnA_k.

После чего было найдено искомое значение -, а также его погрешность.

Из формулы (26) рассчитаем значение параметра β. Так как результаты опытов содержат экспериментальные погрешности, мы получаем приближённое значение параметра:

β  -0.0054

Таким образом, линейная зависимость натуральным логарифма амплитуды колебания от времени (25) выражается следующей приближённой функцией:

lnA= -0.0054t + 2.6632

Отсюда получаем интересующее нас численное значение коэффициента затухания системы:

 0.0054

Для вычисления погрешности ∆ была использована абсолютная погрешность параметра линейной зависимости∆β (где). Расчёт погрешности∆β ведётся по общему выражению (27):

(27)

используя экспериментально полученные данные, формулы (28) и (29):

(28)

(29)

заменяя в них величину b числовыми значениями, получим:

Q = 7.0886·10^-3; S_b = 2.1083·10^-4.

Видно, что Q – сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от линейной функции – весьма мала. Это доказывает справедливость гипотезы о линейном характере зависимости lnA(t).

Выберем доверительную вероятность α = 0.95. Соответствующий коэффициент Стьюдента для α = 0.95 и (N-2) = 4 равен t_{0.95, 4} = 2.776. Следовательно, абсолютные погрешности найденных параметров линейной функции будут равны:

∆β = t_{0.95, 4}·S_b = 5.8527·10^-4

Зная, что была вычислена абсолютная погрешность:

∆ =  · ε_ = 0,0005

Отсюда можно записать:  = (0.0054 ± 0.0005)

Из полученного значения  было найдено численное значение времени релаксации:

Найдем логарифмический декремент затухания и добротность системы:

где l = 1.260 ± 0.001 м.