Расчёт погрешностей для величин измеренных в третьем задании.

Результаты расчетов приведены в таблице:

h, м	tср, с	∆t, с	ε
0.5	1.36	0.17	0.126
1	2.92	0.19	0.0646
1.5	4	0.22	0.0547

Все полученные результаты запишутся в видеt = t_ср ± ∆t.

Расчёт коэффициента корреляции.

Теория указывает на наличие зависимости между величинами а и ∆m. Из формулы (11) получаем следующий вид этой зависимости:

(18)

То есть, согласно теории, между величинами а и m должна существовать линейная зависимость. Проверим это утверждение, используя результаты эксперимента.

Рассчитаем коэффициент корреляции (R) для данной зависимости по формуле:

(19)

где  пар числовых значений, полученных экспериментально (i=1,…);и средние статистические результаты измерений.

Подставив численные значения в формулу (19), получим численное значение приближенного значения корреляции:

R=0.999

Оценка коэффициента корреляции, столь близкая к единице, является убедительным доказательством наличия линейной зависимости между величинами и экспериментальным подтверждением теоретической формулы (18).

Теоретические расчёты f0 и α методом наименьших квадратов.

Для нахождений численных значений F₀ и α экспериментально исследуется зависимость ускорения системы от силы тяжести, действующей на перегрузок, при постоянной обшей массе системы 2М + m. Иначе говоря, независимой переменной полагается произведение Х = mg, а зависимой является ускорение системы Y = а.

Формулу (11) полезно преобразовать:

(20)

где

; (21)

Решая систему уравнений (21) относительно F₀ и α, получим:

(22)

(23)

Согласно (20) зависимость а(mg) является линейной. Поэтому для нахождения величины γ и β был применён метод наименьших квадратов. Затем по формулам (24) и (25)

(24)

(25)

вычислялись приближенные значения параметров (21), полагая b  β, g  γ и х_k = (mg)_k, y_k = а_k.

После чего были найдены искомые величины F₀ и α, а также их погрешности.

По формуле (26) были вычислены средние значения:

(26)

mg = 117.4 (г·м/c²); а = 0.33 (м/с²)

и значения параметров (21). Так как результаты опытов содержат экспериментальные погрешности, мы получаем приближённые значения параметров:

β  2.533·10^-3; γ  – 0.026;

Таким образом, линейная зависимость (20) ускорения системы от массы перегрузков выражается следующей приближённой функцией:

а = 2.533·10^-3mg – 0.026

По формуле (20) получаем интересующее нас численное значение силы трения:

F₀  10.454 г·м/c²

Для вычисления погрешности ∆F₀ были использованы абсолютные погрешности параметров линейной зависимости ∆β и ∆γ, так как F₀выражается отношением коэффициентов β и γ. Расчёт погрешностей ∆β и ∆γ ведётся по общим выражениям (27):

; (27)

используя данные таблицы 3, формулы (28),(29) и (30):

(28)

(29)

(30)

заменяя в них величины b и g числовыми значениями, а также вычисленное выше среднее значение mg, получим:

Q = 6.1 · 10^-4; S_b = 4.81 · 10^-5, S_g = 6.68 · 10^-3.

Видно, что Q – сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от линейной функции – весьма мала. Это доказывает справедливость гипотезы о линейном характере зависимости а(mg).

Выберем доверительную вероятность α = 0.95. Соответствующий коэффициент Стьюдента для α = 0.95 и (N-2) = 6 равен t_{0.95, 6} = 2.447. Следовательно, абсолютные погрешности найденных параметров линейной функции будут равны:

∆β = t_{0.95, 6} · S_b = 1.18 10^-4; ∆γ = t_{0.95, 6} · S_g = 1.64 · 10^-2.

Вид зависимости (22) таков, что проще сначала вычислить относительную погрешность величина F₀:

(31)

где ε_β = 4.646 · 10^-3; ε_γ = 0.617; ε_F = 0.621.

Отсюда была вычислена абсолютная погрешность:

∆F₀ = F₀ · ε_F = 6.464 г·м/c²

Отсюда можно записать: F₀ = 10.454 ± 6.464 г·м/c²

Из приведённых расчётов видно, что значительная погрешность при вычислении силы F₀ в основном вызвана погрешностью определения свободного члена γ.

Проведённые расчёты можно проиллюстрировать графиком зависимости рис. 4, на котором в виде точек нанесены экспериментальные данные.

По формуле (23) было найдено численное значение α = 10.375 г.