Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

СтудФайлы vol.1 / лабы / Мои лабы / Нецентральные оси

.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
232.96 Кб
Скачать

Министерство обра­зования Российской Федерации

Нижегородский государ­ственный университет им. Н.И.Лобачевского

Физический факультет

Отчет

по лабораторной работе

«Определение моментов инерции тел

относительно не­центральных осей»

Выполнил:

студент группы №511

Кучин Д.П.

Проверил:

Позднеев Д.Б.

г. Нижний Новгород

2004 г.

Цель работы: определение моментов инерции тел относительно нецентраль­ных осей с помощью прибора ТМ-98 (рис.1), состоящего из основания с подвешенной к нему круговой плат­формой с тремя грузами на упругой проволоке.

Теоретическая часть.

При повороте платформы на некоторый угол проволока деформиру­ется, и в ней возникают упру­гие силы, создающие момент относительно оси сис­темы, вследствие чего платформа начинает совер­шать круговые колеба­ния.

При повороте платформы в проволоке проис­ходит вращение слоев относительно друг друга. Де­формация такого типа называется кручением.

Выделим в основании проволо­ки элементар­ную площадку dS (рис.5), для ее точек угол сдвига можно счи­тать константой.

Касательная внешняя сила, дей­ствующая на нее:

Момент этой силы:

Д

Рис. 1

ля нахождения М проинтегрируем по от 0 до а затем по x от 0 до r (где r - радиус проволо­ки). Получим

где величина называется модулем кручения, или коэффици­ентом жесткости проволоки на кручение.

Запишем уравнение движения системы, пренебрегая силами трения и сопротивления об воздух, для момента силы упругости, противоположной по знаку найденной:

и

Рис. 2

ли

где I – момент инерции системы относительно центральной оси.

Второе есть уравнение гармонических колебаний с периодом

Для определения момента инерции тела относительно некой оси, тело располагают на платформе так чтобы желаемая ось совпала с осью установки, а затем приводят платформу в горизонтальное положение путем перемещения грузов.

Искомый момент инерции вычисляется по формуле

(1)

Величины k и I0 представляют собой постоянные прибора и определяются с помощью измерений первого задания.

Практическая часть.

Приборы: сантиметровая линейка (м), штангенциркуль (м), секундомер ( с), весы ( г), грузы различной формы и массы.

Во всех приведённых ниже расчётах погрешностей использовалась доверительная вероятность .

Задание 1.

Было проделано по 5 измерений 5ти колебаний каждого набора дисков.

Таблица 1. (времена пяти колебаний, в секундах):

t (m)

t (2m)

t (3m)

t (4m)

t (5m)

1

11.6

12.4

13.0

14.0

15.0

2

11.4

12.6

13.0

14.2

15.0

3

11.2

12.4

13.2

14.0

15.0

4

11.4

12.2

13.4

14.2

15.0

5

11.4

12.2

13.6

14.0

14.8

2.28

2.472

2.648

2.816

2.992

m = 0,938 кг;

R = 0,085 м.

Момент инерции для каждого набора дисков рассчитывался по формуле , где m – суммарная масса дисков.

Используя полученные данные был построен график зависимости I от T2

Из графика видно, что зависимость близка к линейной.

Параметры системы были вычислены методом наименьших квадратов.

Y = β∙X + γ,

где β ≡ k, а γ ≡ – I0. Для их расчёта вычисляются приближённые параметры b и g.

,

где b ≈ β, а g ≈ γ.

Среднеквадратичное отклонение величины b от истинного значения β вычисляется по формуле:

,

где .

.

Тогда доверительные интервалы для углового коэффициента β и свободного члена γ можно записать в виде:

;

.

Т.е. , 

Подставив численные данные, получим:

β ≡ k = 0,00397 кг м2 / с2;

γ ≡ – I0 = – 0,01683 кг м2.

k = 0,00018 кг м2 / с2;

I0 = 0,0004 кг м2.

Задание 2.

Были проведены серии измерений пяти полных колебаний системы, состоящей из двух полуцилиндров, конуса и кольца.

Таблица 2. Колебания двух полуцилиндров:

H, мм

t1, c

t2, c

t3, c

t4, c

t5, c

0

11.0

11.0

11.0

10.6

10.8

2.176

40

11.4

11.6

11.2

11.2

11.4

2.272

60

11.8

12.0

11.6

11.6

11.6

2.344

80

12.2

12.2

12.2

12.0

12.2

2.432

100

13.0

13.0

13.2

12.6

12.8

2.584

R=45 мм;

m=713,2 г.

Таблица 3. Колебания конуса:

t1, c

t2, c

t3, c

t4, c

t5, c

11.0

11.0

11.0

11.0

11.2

2.208

R=50 мм;

m=3194 г;

H=148 мм.

Таблица 3. Колебания кольца:

t1, c

t2, c

t3, c

t4, c

t5, c

11.0

11.2

11.2

11.2

11.0

2.224

R=59,5 мм;

r=40 мм;

m=947,7 г.

Рассчитан средний результат, а также период одного колебания и соответствующая ему погрешность. Найдём моменты инерции тел, подставив полученные значения в формулу (1)

Для двух полуцилиндров:

I(H=0) = 0,00196 кг∙м2

I(H=40) = 0,003654 кг∙м2

I(H=60) = 0,004973 кг∙м2

I(H=80) = 0,006641 кг∙м2

I(H=100) = 0,009667 кг∙м2

Для конуса:

I = 0,002517 кг∙м2

Для кольца:

I = 0,002798 кг∙м2

Погрешность рассчитывается через относительные по формуле:

следовательно

Для двух полуцилиндров:

I(H=0) = 0,000182 кг∙м2

I(H=40) = 0,000453 кг∙м2

I(H=60) = 0,000564 кг∙м2

I(H=80) = 0,000731 кг∙м2

I(H=100) = 0,000978 кг∙м2

Для конуса:

I = 0,000352 кг∙м2

Для кольца:

I = 0,000347 кг∙м2

Задание 3.

Проверим теорему Гюйгенса-Штейнера, используя полученные данные, на примере двух полуцилиндров.

R=0,045 м;

m=0,7132 кг.

Момент инерции относительно центральной оси Iс = 0,000722 кг∙м2.

Погрешность величины Iс вычисляется через относительные погрешности по формуле:

Iс = 0,0000032 кг∙м2

Теорема Штейнера-Гюйгенса утверждает, что момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы на квадрат расстояния между осями.

где Ic - момент инерции относительно центральной оси; а - расстояние между осями.

Расстояние между осями рассчитывается как H +h, где

В нашем случае расстояние между осями составляет:

  1. 0,0191 м;

  2. 0,0391 м;

  3. 0,0491 м;

  4. 0,0591 м;

  5. 0,0691 м.

Момент инерции определяется по формуле:

I1 = 0,00196459 кг∙м2

I2 = 0,00362492 кг∙м2

I3 = 0,00488301 кг∙м2

I4 = 0,00642637 кг∙м2

I5 = 0,00825502 кг∙м2

Формула для вычисления погрешности примет вид:

После вычислений получены результаты:

I1 = 0,000022 кг∙м2;

I2 = 0,000055 кг∙м2;

I3 = 0,000064 кг∙м2;

I4 = 0,000080 кг∙м2;

I5 = 0,000099 кг∙м2.

Таблица 4. Сравнение теоретических и практических данных:

Теоретические данные

Экспериментальные данные

I1

0,001965 ± 0,000022 кг∙м2

0,001960 ± 0,000182 кг∙м2

I2

0,003625 ± 0,000055 кг∙м2

0,003654 ± 0,000453 кг∙м2

I3

0,004883 ± 0,000064 кг∙м2

0,004973 ± 0,000564 кг∙м2

I4

0,006426 ± 0,000080 кг∙м2

0,006641 ± 0,000731 кг∙м2

I5

0,008255 ± 0,000099 кг∙м2

0,009667 ± 0,000978 кг∙м2

Как видно, полученные практически и теоретически с помощью теоремы Штейнера-Гюйгенса интервалы значений перекрываются.

Задание 4.

Определим модуль кручения проволоки и модуль сдвига для материала проволоки.

Величина называется модулем кручения. Значение коэффициента k было найдено ранее, следовательно:

f = 0,154 кг м2 / с2

Погрешность вычислялась по формуле:

f = 0,005 кг м2 / с2

В свою очередь величина определялась так:

где G и есть модуль сдвига для материала проволоки. Следовательно

В результате вычислений получим:

G = 5,718 . 1010  0,146 . 1010 кг /мс2 ( Н / м2)

Вывод:

В ходе проведения данной работы определены постоянные установки: k (определяется модулем кручения) и I0 (собственный момент инерции платформы). Был построен график зависимости I(T2), из которого видно, что данная зависимость близка к линейной (отклонение не превышает погрешностей по величинам).

Были определены моменты инерции двух полуцилиндров на разном расстоянии друг от друга, момент инерции конуса и кольца, при уже определённых параметрах установки.

Полученные результаты были сравнены с теоретическими. Была рассчитана погрешность для теоретических и практических результатов, что дало возможность констатировать - доверительные интервалы вычисленных величин перекрываются. Это подтверждает теорему Гюйгенса-Штейнера.

Рассчитаны физические характеристики подвеса (проволоки), модуль кручения и сдвига, которые входят в постоянную данного прибора.

Соседние файлы в папке Мои лабы