
СтудФайлы vol.1 / лабы / Мои лабы / Нецентральные оси
.docМинистерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Физический факультет
Отчет
по лабораторной работе
«Определение моментов инерции тел
относительно нецентральных осей»
Выполнил:
студент группы №511
Кучин Д.П.
Проверил:
Позднеев Д.Б.
г. Нижний Новгород
2004 г.
Цель работы: определение моментов инерции тел относительно нецентральных осей с помощью прибора ТМ-98 (рис.1), состоящего из основания с подвешенной к нему круговой платформой с тремя грузами на упругой проволоке.
Теоретическая часть.
При
повороте платформы на некоторый угол
проволока деформируется, и в ней
возникают упругие силы, создающие
момент относительно оси системы,
вследствие чего платформа начинает
совершать круговые колебания.
При повороте платформы в проволоке происходит вращение слоев относительно друг друга. Деформация такого типа называется кручением.
Выделим в основании проволоки элементарную площадку dS (рис.5), для ее точек угол сдвига можно считать константой.
Касательная внешняя сила, действующая на нее:
Момент этой силы:
Д
Рис.
1
от 0 до
а затем по x
от 0 до r
(где r
- радиус проволоки). Получим
где
величина
называется
модулем кручения, или коэффициентом
жесткости проволоки на кручение.
Запишем уравнение движения системы, пренебрегая силами трения и сопротивления об воздух, для момента силы упругости, противоположной по знаку найденной:
и
Рис.
2
где I – момент инерции системы относительно центральной оси.
Второе есть уравнение гармонических колебаний с периодом
Для определения момента инерции тела относительно некой оси, тело располагают на платформе так чтобы желаемая ось совпала с осью установки, а затем приводят платформу в горизонтальное положение путем перемещения грузов.
Искомый момент инерции вычисляется по формуле
(1)
Величины k и I0 представляют собой постоянные прибора и определяются с помощью измерений первого задания.
Практическая часть.
Приборы:
сантиметровая
линейка (м),
штангенциркуль (
м),
секундомер (
с), весы (
г), грузы различной формы и массы.
Во
всех приведённых ниже расчётах
погрешностей использовалась доверительная
вероятность
.
Задание 1.
Было проделано по 5 измерений 5ти колебаний каждого набора дисков.
Таблица 1. (времена пяти колебаний, в секундах):
№ |
t (m) |
t (2m) |
t (3m) |
t (4m) |
t (5m) |
1 |
11.6 |
12.4 |
13.0 |
14.0 |
15.0 |
2 |
11.4 |
12.6 |
13.0 |
14.2 |
15.0 |
3 |
11.2 |
12.4 |
13.2 |
14.0 |
15.0 |
4 |
11.4 |
12.2 |
13.4 |
14.2 |
15.0 |
5 |
11.4 |
12.2 |
13.6 |
14.0 |
14.8 |
|
2.28 |
2.472 |
2.648 |
2.816 |
2.992 |
m = 0,938 кг;
R = 0,085 м.
Момент
инерции для каждого набора дисков
рассчитывался по формуле
,
где m
– суммарная масса дисков.
Используя полученные данные был построен график зависимости I от T2
Из графика видно, что зависимость близка к линейной.
Параметры системы были вычислены методом наименьших квадратов.
Y = β∙X + γ,
где β ≡ k, а γ ≡ – I0. Для их расчёта вычисляются приближённые параметры b и g.
,
где b ≈ β, а g ≈ γ.
Среднеквадратичное отклонение величины b от истинного значения β вычисляется по формуле:
,
где
.
.
Тогда доверительные интервалы для углового коэффициента β и свободного члена γ можно записать в виде:
;
.
Т.е.
,
Подставив численные данные, получим:
β ≡ k = 0,00397 кг м2 / с2;
γ ≡ – I0 = – 0,01683 кг м2.
k = 0,00018 кг м2 / с2;
I0 = 0,0004 кг м2.
Задание 2.
Были проведены серии измерений пяти полных колебаний системы, состоящей из двух полуцилиндров, конуса и кольца.
Таблица 2. Колебания двух полуцилиндров:
H, мм |
t1, c |
t2, c |
t3, c |
t4, c |
t5, c |
|
0 |
11.0 |
11.0 |
11.0 |
10.6 |
10.8 |
2.176 |
40 |
11.4 |
11.6 |
11.2 |
11.2 |
11.4 |
2.272 |
60 |
11.8 |
12.0 |
11.6 |
11.6 |
11.6 |
2.344 |
80 |
12.2 |
12.2 |
12.2 |
12.0 |
12.2 |
2.432 |
100 |
13.0 |
13.0 |
13.2 |
12.6 |
12.8 |
2.584 |
R=45 мм;
m=713,2 г.
Таблица 3. Колебания конуса:
t1, c |
t2, c |
t3, c |
t4, c |
t5, c |
|
11.0 |
11.0 |
11.0 |
11.0 |
11.2 |
2.208 |
R=50 мм;
m=3194 г;
H=148 мм.
Таблица 3. Колебания кольца:
t1, c |
t2, c |
t3, c |
t4, c |
t5, c |
|
11.0 |
11.2 |
11.2 |
11.2 |
11.0 |
2.224 |
R=59,5 мм;
r=40 мм;
m=947,7 г.
Рассчитан средний результат, а также период одного колебания и соответствующая ему погрешность. Найдём моменты инерции тел, подставив полученные значения в формулу (1)
Для двух полуцилиндров:
I(H=0) = 0,00196 кг∙м2
I(H=40) = 0,003654 кг∙м2
I(H=60) = 0,004973 кг∙м2
I(H=80) = 0,006641 кг∙м2
I(H=100) = 0,009667 кг∙м2
Для конуса:
I = 0,002517 кг∙м2
Для кольца:
I = 0,002798 кг∙м2
Погрешность рассчитывается через относительные по формуле:
следовательно
Для двух полуцилиндров:
I(H=0) = 0,000182 кг∙м2
I(H=40) = 0,000453 кг∙м2
I(H=60) = 0,000564 кг∙м2
I(H=80) = 0,000731 кг∙м2
I(H=100) = 0,000978 кг∙м2
Для конуса:
I = 0,000352 кг∙м2
Для кольца:
I = 0,000347 кг∙м2
Задание 3.
Проверим теорему Гюйгенса-Штейнера, используя полученные данные, на примере двух полуцилиндров.
R=0,045 м;
m=0,7132 кг.
Момент инерции относительно центральной оси Iс = 0,000722 кг∙м2.
Погрешность величины Iс вычисляется через относительные погрешности по формуле:
Iс = 0,0000032 кг∙м2
Теорема Штейнера-Гюйгенса утверждает, что момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме его момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы на квадрат расстояния между осями.
где Ic - момент инерции относительно центральной оси; а - расстояние между осями.
Расстояние
между осями рассчитывается как H
+h,
где
В нашем случае расстояние между осями составляет:
-
0,0191 м;
-
0,0391 м;
-
0,0491 м;
-
0,0591 м;
-
0,0691 м.
Момент инерции определяется по формуле:
I1 = 0,00196459 кг∙м2
I2 = 0,00362492 кг∙м2
I3 = 0,00488301 кг∙м2
I4 = 0,00642637 кг∙м2
I5 = 0,00825502 кг∙м2
Формула для вычисления погрешности примет вид:
После вычислений получены результаты:
I1 = 0,000022 кг∙м2;
I2 = 0,000055 кг∙м2;
I3 = 0,000064 кг∙м2;
I4 = 0,000080 кг∙м2;
I5 = 0,000099 кг∙м2.
Таблица 4. Сравнение теоретических и практических данных:
№ |
Теоретические данные |
Экспериментальные данные |
I1 |
0,001965 ± 0,000022 кг∙м2 |
0,001960 ± 0,000182 кг∙м2 |
I2 |
0,003625 ± 0,000055 кг∙м2 |
0,003654 ± 0,000453 кг∙м2 |
I3 |
0,004883 ± 0,000064 кг∙м2 |
0,004973 ± 0,000564 кг∙м2 |
I4 |
0,006426 ± 0,000080 кг∙м2 |
0,006641 ± 0,000731 кг∙м2 |
I5 |
0,008255 ± 0,000099 кг∙м2 |
0,009667 ± 0,000978 кг∙м2 |
Как видно, полученные практически и теоретически с помощью теоремы Штейнера-Гюйгенса интервалы значений перекрываются.
Задание 4.
Определим модуль кручения проволоки и модуль сдвига для материала проволоки.
Величина
называется модулем кручения. Значение
коэффициента k
было найдено ранее, следовательно:
f = 0,154 кг м2 / с2
Погрешность
вычислялась по формуле:
f = 0,005 кг м2 / с2
В
свою очередь величина
определялась так:
где G и есть модуль сдвига для материала проволоки. Следовательно
В результате вычислений получим:
G = 5,718 . 1010 0,146 . 1010 кг /мс2 ( Н / м2)
Вывод:
В ходе проведения данной работы определены постоянные установки: k (определяется модулем кручения) и I0 (собственный момент инерции платформы). Был построен график зависимости I(T2), из которого видно, что данная зависимость близка к линейной (отклонение не превышает погрешностей по величинам).
Были определены моменты инерции двух полуцилиндров на разном расстоянии друг от друга, момент инерции конуса и кольца, при уже определённых параметрах установки.
Полученные результаты были сравнены с теоретическими. Была рассчитана погрешность для теоретических и практических результатов, что дало возможность констатировать - доверительные интервалы вычисленных величин перекрываются. Это подтверждает теорему Гюйгенса-Штейнера.
Рассчитаны физические характеристики подвеса (проволоки), модуль кручения и сдвига, которые входят в постоянную данного прибора.