Лекция 1. Неопределенный интеграл

1.1.Первообразная

Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной или дифференциала некоторой функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: восстановление функции по известной производной или дифференциалу этой функции.

Определение 1.1. Функцию F (x) называют п е р в о о б р а з н о й для функции f(x) на интервале (a; b)1, если в любой точке x 2 (a; b) функция F (x) дифференцируема и имеет

место равенство

F 0(x) = f(x):

Замечание 1.1. Аналогично определяется первообразная на отрезке или полуинтервале, если под производной функции F (x) в граничной точке, принадлежащей рассматривае-

мому промежутку, понимать соответствующую одностороннюю производную.

Свойства первообразной

1. Если F (x) первообразная для функции f(x) на интервале (a; b), то и функция F (x) + C, где C произвольная постоянная, является первообразной для функции f(x) на интервале (a; b).

Доказательство. Òàê êàê (F (x) + C)0 = F 0(x), где F (x) первообразная для функции f(x) на интервале (a; b), то и функция F (x) + C, где C произвольная постоянная, является первообразной для функции f(x) на интервале (a; b).

2.Если F (x) первообразная для функции f(x) на интервале (a; b), то любая первообразная G(x) для функции f(x) на интервале (a; b) имеет вид G(x) = F (x) + C, где C некоторая постоянная.

Доказательство. Так как G(x) и F (x) дифференцируемы на интервале (a; b), при- ч¼м G0(x) = F 0(x) для каждого x 2 (a; b), то по следствию 28.4.3 из теоремы Лагранжа функции G и F отличаются на постоянную.

Следствие 1.1.1. Все множество первообразных на интервале (a; b) для функции f(x) описывается выражением F (x) + C, ãäå F (x) некоторая первообразная для функции f(x) на интервале (a; b), C любое действительное число.

1.2.Неопределенный интеграл

Определение 1.2. Все множество первообразных на интервале (a; b) для функции f(x) называют н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м от функции f(x) на этом интервале

f(x) dx:

1a, b могут быть конечными или бесконечными.

1

где C любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Термин интеграл (от латинского integralis целостный) был введен Лейбницем.

Слово неопределенный подчеркивает тот факт, что в соотношение (1.1) входит посто-

янное слагаемое, которое можно считать произвольным.

Наличие символа дифференциала d под знаком интеграла обязательно! Выражение

под знаком дифференциала указывает переменную интегрирования.

Примеры.

Позднее2 будет доказано, что для всякой функции f(x), непрерывной на интервале (a; b), существует на этом интервале первообразная (и неопределенный интеграл).

Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла (от функции f(x)) называют и н т е г р и р о в а н и е м (функции f(x)).

1.3.Основные свойства неопределенного интеграла

Первые два свойства неопределенного интеграла вытекают из определения (1.1).

1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Z

dF (x) = F (x) + C:

Доказательство. Так как dF (x) = F 0(x)dx = f(x)dx, имеем определение неопределенного интеграла (1.1).

2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

èпроизводная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Доказательство. Пусть выполняется (1.1). Тогда

Z

df(x) dx = d (F (x) + C) = dF (x) = F 0(x)dx = f(x)dx;

Z 0

f(x) dx = (F (x) + C)0 = F 0(x) = f(x):

2Лекция 13.

2

Следствие 1.3.1. Таблица производных легко обращается в таблицу основных неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

ZZ

Замечание 1.1. Формула 3 неопределенного интеграла справедлива на любом интервале, не содержащем значение x = 0.

Формулы неопределенных интегралов 18, 19 обычно для сокращения таблицы объеди-

3

в области определения подынтегральной функции. Также объединяют запись интегралов

содержащем значения x = 1.

Интегралы 1-17, (1.2), (1.3) называются т а б л и ч н ы м и.

Следующие два свойства называются л и н е й н ы м и с в о й с т в а м и неопределенного интеграла.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

ZZ

af(x) dx = a f(x) dx:

Доказательство. Из свойств производной и свойства 2 неопределенного интеграла имеем

öèè af(x).

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраи- ческой сумме интегралов от этих функций:

Z Z Z

(f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x); dx:

Доказательство. Из свойств производной и свойства 2 неопределенного интеграла имеем

ZZ

Это означает, что функции из множества f(x) dx g(x); dx являются первообразными для функции f(x) g(x).

Замечание 1.2. Равенства в свойствах 3 и 4 имеют условный характер. Вообще говоря, левые части равны соответствующим правым с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в этих формулах, определен с точностью до произвольной постоянной.

3В справедливости этой формулы при x < 1 убедитесь самостоятельно.

4