Лекция 11 12. Свойства определенного интеграла и интегрируемых функций

11.1. Простейшие свойства

1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a = b), то интеграл равен

f(x) dx = 0:

a

Данное свойство будем рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.

2) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

Z b Z a

f(x) dx = f(x) dx:

a b

Эта формула также должна рассматриваться как соглашение. Она представляет собой обобщение понятия интеграла на случай, когда отрезок [a; b] при a < b пробегается в

направлении от b к a (b = x0 > x1 > : : : > xi 1 > xi > : : : > xn = a и все разностиxi = xi xi 1 меньше нуля).

11.2.Линейные свойства определенного интеграла

3) Если функция f интегрируема [a; b], то она интегрируема и на любом отрезке

[c; d] [a; b].

Доказательство äàíî â [2] на стр. 390-391 (свойство 2) и в [1] на стр. 346 (свойство 5 ).

4) Свойство аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования. Пусть a < c < b. Если функция f интегрируема на отрезках [a; c] и [c; b],

то она интегрируема и на отрезке [a; b], причем

Z b Z c Z b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

a a c

Это равенство справедливо и тогда, когда точка c лежит вне отрезка [a; b].

Доказательство äàíî â [1] на стр. 346-347 (свойство 6 ).

5) Интегрируемость суммы интегрируемых функций. Если функции f(x) и g(x)

интегрируемы на отрезке [a; b], то их сумма также интегрируема на этом отрезке и

Z b Z b Z b

(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx:

a a a

Доказательство äàíî â [1] на стр. 345 (свойство 3 ).

6) Свойство однородности. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то функция cf(x) (c = const) также интегрируема на этом отрезке, причем

Z b Z b

cf(x) dx = c f(x) dx:

a a

1

Доказательство.

Замечание 11.1. Свойства 5 и 6 называются свойством л и н е й н о с т и определенного

интеграла:

Z b Z b Z b

( f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx:

a a a

11.3.Интегрирование функций, не определенных на конечном множестве точек отрезка.

Если изменить значения интегрируемой на отрезке функции в конеч- ном числе точек, то получим интегрируемую функцию и значение интеграла не изменится.

Доказательство. Рассмотрим на [a; b] функцию g(x), которая равна 1 в некоторой

точке x0 отрезка и равна нулю во всех остальных его точках. Тогда для каждого разбиения отрезка [a; b] имеем s( ) = 0 и S( ) ( ), где s( ), S( ) соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функциии g(x), ( ) диаметр разбиения отрезка [a; b]. По-

интеграла от функции не изменится:

Z b Z b Z b Z b

(f(x) + cg(x)) dx = f(x) dx + c g(x) dx = f(x) dx:

a a a a

Повторив это рассуждение для каждой точки, в которой изменено значение функции, получим утверждение теоремы.

Таким образом, можно говорить об интегрировании на отрезке функций, которые не определены на конечном множестве точек отрезка.

Свойство 4 и теорема 11.3.1 вместе с теоремами 10.2.1 и 10.2.2 позволяют сделать вывод об интегрируемости на отрезке кусочно непрерывных и кусочно монотонных функций.

11.4.Интегрируемость произведения и частного

Для дальнейшего изложения материала нам потребуется следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 11.4.1. Колебание функции f на отрезке [a; b], по определению равное числу

w[a;b](f) = sup f(x) inf f(x);

x2[a;b] x2[a;b]

2

можно выразить следующим образом:

7) Интегрируемость произведения интегрируемых функций. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], то их произведение f(x)g(x) также инте-

грируемо на этом отрезке.

Доказательство. В силу интегрируемости функций f(x) и g(x) на отрезке [a; b] они ограничены на этом отрезке, т. е. существуют постоянные Mf > 0 è Mg > 0 такие, что

jf(x)j Mf ; jg(x)j Mg

Тогда, естественно, справедливо неравенство wi(fg) Mf wi(g) + Mgwi(f) и вместе с ним

3

8) Если функция g(x) интегрируема на отрезке [a; b], причем 8x 2 [a; b] jg(x)j m > 0, то функция 1=g(x) также интегрируема на этом отрезке.

9) Интегрируемость частного интегрируемых функций. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], причем 8x 2 [a; b] jg(x)j m > 0, то их частное f(x)=g(x) также интегрируемо на этом отрезке.

Доказательство. Это свойство следует из свойств 7 и 8.

11.5.Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами

10) Если f(x) интегрируема на [a; b] и f(x) 0 на [a; b], то

Z b

f(x)dx 0 (a b):

a( )!0 i=1

11)Свойство монотонности определенного интеграла. Если интегрируемые функ-

ции f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству f(x) g(x) 8x 2 [a; b], то

Z b Z b

f(x)dx g(x)dx:

aa

Доказательство. Так как f(x) g(x) 0 8x 2 [a; b], то согласно свойствам 5 и 10

4

12) Если функция f(x) непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b], и существует точка c 2 [a; b] такая, что f(c) > 0, то

Z b

f(x)dx > 0(a < b):

a

Доказательство. По условию f(x) непрерывна в точке c 2 [a; b]. Пусть c 2 (a; b). Следовательно,

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x jx cj < ) jf(x) f(c)j < ";

или, что то же самое, f(c) " < f(x) < f(c) + ". В том числе это двойное неравенство справедливо и для " = f(c)=2 > 0. При этом получим, что f(x) f(c)=2 8x 2 [c ; c+ ], и

согласно свойству 11 (монотонности определенного интеграла), а также рассмотренному примеру 8.1, имеем

Используя свойство 4 (аддитивности определенного интеграла по промежутку интегрирования), получаем требуемую оценку:

Если c совпадает с одной из граничных точек отрезка, то рассматривается соответствующая односторонняя -окрестность точки c. Все рассуждения аналогичны.

Из этого свойства вытекает следующее утверждение, иногда называемое основной

леммой вариационного исчисления .

Теорема 11.5.1. Если для непрерывной неотрицательной на отрезке [a; b] функции f(x)

справедливо

Z b

f(x)dx = 0;

a

то f(x) тождественно равна нулю на [a; b].

Доказательство. Действительно, если предположить, что f(x0) > 0 в некоторой точ-

êå x0 2 [a; b], то согласно свойству 12 выполняется неравенство Rab f(x)dx > 0, противоре- чащее условию теоремы.

13) Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то и функция jf(x)j интегрируема на этом отрезке и справедливо неравенство

Z b Z b

aa

Доказательство. Докажем сначала интегрируемость модуля jf(x)j интегрируемой функции f(x). Согласно лемме 11.4.1

5

òî åñòü

грируемость функции jf(x)j на отрезке [a; b].

Замечание 11.1. Из интегрируемости модуля jf(x)j интегрируемость самой функции f(x) не следует.

Действительно, функция

(

g(x) = 1; если x рационально,1; если x иррационально,

не интегрируема1 ни на каком отрезке, в то же время как е¼ модуль jg(x)j 1 интегрируем. Докажем теперь интересующую нас оценку. Так как

и пределы обеих частей неравенства

XX

существуют, то согласно свойству сохранения нестрогого неравенства в пределе, получим

XX

что и требовалось доказать.

Замечание 11.2. Неравенство (11.3) также следует из свойства 11 (монотонности определенного интеграла). Так как jf(x)j f(x) jf(x)j; то

Z b Z b Z b

jf(x)jdx f(x)dx jf(x)jdx;

a a a

а это и означает выполнение неравенства (11.3).

1Докажите это.

6