Лекция 7. Интегрирование трансцендентных функций

7.1.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

Также как и раньше обозначаем символом R(u; v; w; : : :) рациональную функцию относительно конечного числа переменных u; v; w : : :.

Теорема 7.1.1. Любая функция вида R(sin x; cos x) интегрируется в элементарных функциях.

Доказательство. Надо показать, что интеграл от этой функции рационализируется подстановкой t = tg x2 , т. е. после замены переменной x в подынтегральном выражении

R(sin x; cos x) dx на соответствующую переменную t, получится рациональная подынтегральная функция. Как это сделать, читайте [1] íà ñòð. 231-232.

Однако универсальная подстановка приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. В некоторых частных случаях интеграл от функции R(cos x; sin x) может быть

рационализирован с помощью других тригонометрических подстановок.

1. Если подынтегральная функция в (7.1) является нечетной относительно sin x, ò. å. R( sin x; cos x) = R(sin x; cos x); то интеграл (7.1) рациона-

лизируется подстановкой t = cos x.

2. Если подынтегральная функция в (7.1) является нечетной относительно cos x,

ò.å. R(sin x; cos x) = R(sin x; cos x); то интеграл (7.1) рационализируется подстановкой t = sin x.

3.Если подынтегральная функция в (7.1) является четной относительно sin x è cos x,

ò.å. R( sin x; cos x) = R(sin x; cos x); то интеграл (7.1) рационализируется под-

становкой t = tg x.

Доказательство приведено в [1] íà ñòð. 232-233.

Пример 7.1. Примеры смотрите в [1] íà ñòð. 233-234 è â [2] íà ñòð. 371-373.

7.2.Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям

Смотрите лекцию 2, пункт 2.4 метод интегрирования по частям.

Пример 7.2. Примеры смотрите в [2] íà ñòð. 375-376.

1

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

2